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  机械能守恒定律（课时1）【三大题型】

【人教版2019】

【题型1  动能和势能的相互转换】 1

【题型2  机械能守恒定律的理解和判断】 4

【题型3  机械能守恒定律的应用】 6

知识点1：

1．动能与势能的相互转化

(1)动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能．

(2)动能与弹性势能间的转化：只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；弹力做负功，则动能转化为弹性势能．

2．机械能

(1)机械能是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化成另一种形式．

(2)机械能是状态量，是标量，没有方向但有正负之分．

【题型1  动能和势能的相互转换】

【例1】(多选)(2024·成都市高一期中)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B.乙图中，物体B沿固定斜面匀速下滑，物体B机械能守恒

C.丙图中，不计滑轮质量和任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒

【答案】　CD

【详解】　甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧弹力对A做负功，A机械能不守恒，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；

乙图中，物体B沿固定斜面匀速下滑，说明B受到摩擦力的作用，物体B机械能在减少，故B错误；

丙图中，绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，故C正确；

丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的动能和势能都不变，故机械能守恒，故D正确。

【变式1-1】(2023·福州市高一期中)如图所示，质量为m的物体，以初速度v₀=(g为重力加速度)从A点向下在轨道中运动，直轨道长为2R，半圆轨道半径为R，且B为半圆轨道最低点，不考虑一切阻力。求：

(1)物体通过B点时的动能；

(2)物体离开C点后还能上升的高度。

【答案】　(1)mgR　(2)R

【详解】　(1)取B点所在水平面为参考平面，从A到B物体机械能守恒，有m+mg(2R+R)=E_kB+0，即E_kB=mgR

(2)取C点所在水平面为参考平面，设物体离开C点后还能上升的高度为h，整个过程机械能守恒，有m+mg·2R=mgh，解得h=R

【变式1-2】如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：

(1)弹簧的最大弹性势能；

(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。

【答案】　(1)50 J　(2)32 J

【详解】　(1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有E_pm=m=×4×5² J=50 J。

(2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有m=m+E_p1

则E_p1=m-m=32 J。

【变式1-3】如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时速度为v，A、B之间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则(　　)

A.小球的机械能守恒

B.由A到B小球重力势能减少mv²

C.由A到B小球克服弹力做功为mgh

D.小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh-mv²

【答案】　D

【详解】　由于有弹力做功，小球的部分机械能转化为了弹簧的弹性势能，从而使小球的机械能减小，故A错误；由A到B小球重力势能减少mgh，小球在下降过程中重力势能转化为动能和弹性势能，所以mgh>mv²，故B错误；根据系统机械能守恒得mgh+W_弹=mv²，所以由A到B小球克服弹力做功为mgh-mv²，故C错误；小球克服弹力做的功即为弹簧的弹性势能的增加量，小球在A处时弹簧无形变，所以小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh-mv²，故D正确。

知识点2：对机械能守恒定律的理解

1．研究对象

(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象．

(2)当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体包括弹簧构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)．

2．机械能守恒的条件

“只有重力或弹力做功”可能有以下三种情况：

①物体只受重力或弹力作用；

②除重力和弹力外，其他力不做功；

③除重力和弹力外，其他力做功的代数和为零．

特别提醒：

(1)机械能守恒的条件不是物体所受的合力为零，也不是合力的功为零．

(2)判断单个物体的机械能是否守恒从机械能的定义或做功的力的特点上分析较好，而对系统的机械能是否守恒的判断，从能量转化的角度分析比较简单，即系统内的机械能有没有转化为其他形式的能．

【题型2  机械能守恒定律的理解和判断】

【例2】（多）下列叙述中正确的是(　　)

A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒

B．做变速直线运动的物体的机械能可能守恒

C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒

D．系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒

【答案】　BD

【详解】　系统机械能是否守恒可根据机械能守恒的条件来判断．做匀速直线运动的物体所受合力为零，动能不变，但重力势能可能改变，A错误；做变速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，B正确；外力对物体做功为零时，除重力之外的力有可能做功，此时机械能不一定守恒，C错误；系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能守恒，D正确．

【变式2-1】如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒

B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒

【答案】　BCD

【详解】　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功的代数和为零，机械能守恒，B对；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．

【变式2-2】 关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是(　　)

A.做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒

B.物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒

C.物体做匀速直线运动，机械能一定守恒

D.物体所受合力做功为零，机械能一定守恒

【答案】　B

【详解】　若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。

【变式2-3】(2023·扬州市高一期中)在下面列举的各个实例中，机械能守恒的是(　　)

A.不计空气阻力，抛出的铅球在空中运动

B.跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落

C.拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升

D.在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来，小球机械能守恒

【答案】　A

【详解】　不计空气阻力，抛出的铅球在空中运动过程中，铅球仅受到重力作用，铅球的机械能守恒，故A正确；跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落，动能不变，重力势能减小，则机械能减小，故B错误；拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升，动能不变，重力势能增大，金属块的机械能增大，故C错误；在光滑水平面上运动的小球碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来，弹簧对小球的弹力先做负功后做正功，小球的机械能先减小后增大，故D错误。

【题型3  机械能守恒定律的应用】

【例3】 如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v₀被抛出，不计空气阻力，求它到达距平台高度为h的B点时速度的大小．

【答案】　0(2)＋2gh(2)

【详解】　解法一：物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，选地面为参考面，设水平台面的高度为H，则mgH＋2(1)mv0(2)＝mg(H－h)＋2(1)mvB(2)，解得v_B＝0(2)＋2gh(2)

解法二：使用机械能守恒定律的另一种形式：重力势能的减少量等于动能的增加量，有mgh＝2(1)mvB(2)－2(1)mv0(2)，解得v_B＝0(2)＋2gh(2).

【变式3-1】以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面上竖直向上抛出，若忽略空气阻力，g取10 m/s²，则：

(1)物体上升的最大高度是多少？

(2)上升过程中在何处重力势能与动能相等？

【答案】　(1)5 m　(2)2.5 m

【详解】　(1)由于物体在运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒．取地面为零势能面，则E₁＝2(1)mv0(2)，在最高点动能为0，故E₂＝mgh，由机械能守恒定律E₁＝E₂可得：

2(1)mv0(2)＝mgh，所以h＝0(2)0()＝2×10(102) m＝5 m.

(2)初态物体在地面上，E₁＝2(1)mv0(2)，设重力势能与动能相等时在距离地面h₁高处，E₂＝2(1)mv1(2)＋mgh₁＝2mgh₁，由机械能守恒定律可得：2(1)mv0(2)＝2(1)mv1(2)＋mgh₁＝2mgh₁，所以h₁＝0(2)0()＝2.5 m.

【变式3-2】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上的某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．

【答案】　2(5)R≤h≤5R

【详解】　设物块在圆形轨道最高点的速度为v，取地面为零势能面，由机械能守恒定律得

mgh＝2mgR＋2(1)mv²①

物块在圆形轨道最高点受的力为重力mg和轨道的压力F_N.

重力与压力的合力提供向心力，则有

mg＋F_N＝mR(v2)②

物块能通过最高点的条件是F_N≥0③

由②③式得v≥④

由①④式得h≥2(5)R.

按题目的要求，有F_N≤5mg⑤

由②⑤式得v≤⑥

由①⑥式得h≤5R.

则h的取值范围是2(5)R≤h≤5R.

【变式3-3】(2023·成都市高一期末)如图所示，以相同大小的初速度v₀将小球从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况下，小球达到的最大高度分别为h₁、h₂和h₃，不计空气阻力，则(　　)

A.h₁=h₂>h₃ B.h₁=h₂<h₃

C.h₁=h₃>h₂ D.h₁=h₃<h₂

【答案】　C

【详解】　竖直上抛和沿斜面上滑的小球到达最高点时的速度均为零，根据机械能守恒定律可知m=mgh，可知h₁=h₃，斜上抛的小球到达最高点时的速度不为零，根据m=mgh₂+m，可知h₂<h₁，即h₁=h₃>h₂，故选C。