（2024·北京东城·统考一模）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动模型，初速度和受力情况的不同决定了质点做何种运动。
（1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度
在竖直面内做平抛运动，以抛出点为原点，以
的方向为x轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。
a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为
，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为
，请证明
与
满足：
；
b．请写出质点的轨迹方程。
（2）简谐运动的质点所受回复力F与位移x成正比，且方向总和位移相反，即
，其中k为常数。如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O点很近的地方由静止释放，小珠子将围绕O点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O点附近的往复运动是简谐运动（当
很小时，
）。
（3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相对静止的位置。
【答案】（1）a. 见解析，b. 
；（2）见解析；（3）见解析
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