1. （2023•福建）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1m，弹簧劲度系数k＝100N/m，圆环质量m＝1kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，摩擦力可忽略不计。
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
【解答】解：（1）细杆和圆环处于静止状态，圆环受力如图1所示：
根据平衡条件结合数学知识F＝mgcosα
根据胡克定律F＝kx
代入数据联立解得x＝0.05m
圆环到O点的距离s＝x0﹣x＝0.1m﹣0.05m＝0.05m；
（2）弹簧处于原长时，圆环所受重力和支持力的合力提供向心力，如图2所示：
小球做圆周运动的半径
小球做圆周运动的向心力
根据向心力公式
代入数据联立解得
（3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力如图3所示：
小球做圆周运动的半径
弹簧的弹力F弹＝k（L﹣x0）＝100（0.2﹣0.1）N＝10N
建立如图所示的坐标系，y轴方向FNsinα＝mg+F弹cosα
x轴方向F向＝FNcosα+F弹sinα
根据向心力公式
联立解得ω2＝10rad/s。
【答案】
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