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专题07 曲线运动的实验探究

考点1 实验：探究平抛运动的特点

考向1 教材原型实验

考向2 创新实验

考点2 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

考向1 教材原型实验

考向2 创新实验

考点1 实验：探究平抛运动的特点  

一、实验思路

1．思路：把复杂的曲线运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动。

2．平抛运动的分解方法

由于物体是沿着水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，可尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动。

二、探究平抛运动竖直分运动的特点

1．实验按图示装置进行实验，小钢球A、B位于相同高度处，用小锤击打弹性金属片，金属片C受到小锤的击打，向前推动A，小钢球A具有水平初速度，做平抛运动，同时松开小钢球B，自由下落，做自由落体运动。

2．分析

仔细观察可知，不管两个小钢球距地面的高度为多大，或小锤击打金属片的力度多大(小锤击打金属片的力度越大，小钢球A水平抛出的初速度越大)，两小钢球每次都同时落地，说明两小钢球在空中运动的时间相等，即做平抛运动的物体在竖直方向上的分运动是自由落体运动。

3．结论

做平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动。

三、探究平抛运动水平分运动的特点

1．实验

在图示的实验装置中，两个相同的弧形轨道M、N，上端分别装有电磁铁C、D；调节C、D的高度，使AC＝BD。将小铁球P、Q分别吸在C、D上，然后切断电源，使球以相同的初速度v₀分别同时从M、N的末端水平射出，其中与轨道N相切的水平面光滑。

实验发现两铁球在P球落地时相遇。只增大或减小轨道M的高度再进行实验，结果两铁球总是在P球落地时相遇。

2．分析

只改变轨道M的高度，相当于只改变P球做平抛运动的竖直高度，发现P、Q两球总是在P球落地时相遇，即P球在水平方向上的运动不因P球在竖直方向上运动时间的长短而改变，总是和在水平面上做匀速直线运动的Q球有完全相同的运动情况。

(3)结论

做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动；平抛运动的各分运动具有独立性。

四、常规实验

1．实验思路

用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度．

2．实验器材

末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等．

3．实验过程

(1)安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否竖直．

(2)安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否水平，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能静止在直轨道上的任意位置，则表明斜槽末端已调水平，如图．

(3)描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹．

(4)确定坐标原点及坐标轴：选定斜槽末端处小球球心在白纸上的投影的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴．

4．数据处理

(1)判断平抛运动的轨迹是不是抛物线

如图所示，在x轴上作出等距离的几个点A₁、A₂、A₃、…，把线段OA₁的长度记为l，则OA₂＝2l，OA₃＝3l，由A₁、A₂、A₃、…向下作垂线，与轨迹交点分别记为M₁、M₂、M₃、…，若轨迹是一条抛物线，则各点的y坐标和x坐标之间应该满足关系式y＝ax²(a是待定常量)，用刻度尺测量某点的x、y两个坐标值代入y＝ax²求出a，再测量其他几个点的x、y坐标值，代入y＝ax²，若在误差范围内都满足这个关系式，则这条曲线是一条抛物线．

(2)计算平抛物体的初速度

情景1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v₀t和y＝2(1)gt²，即可求出多个初速度v₀＝x2y(g)，最后求出初速度的平均值，这就是做平抛运动的物体的初速度．

情景2：若原点O不是抛出点，

①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使x_AB＝x_BC＝x，如图所示．A到B与B到C的时间相等，设为T.

②用刻度尺分别测出y_A、y_B、y_C，则有y_AB＝y_B－y_A，y_BC＝y_C－y_B.

③y_BC－y_AB＝gT²，且v₀T＝x，由以上两式得v₀＝xyBC－yAB(g).

5．注意事项

(1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，以保证小球的初速度水平，否则小球的运动就不是平抛运动了．

(2)小球每次从槽中的同一位置由静止释放，这样可以确保每次小球抛出时的速度相等．

(3)坐标原点(小球做平抛运动的起点)不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的球心在背板上的水平投影点．

考向1 教材原型实验

1．(2022浙江1月选考)在“研究平抛运动”实验中，以小钢球离开轨道末端时球心位置为坐标原点O，建立水平与竖直坐标轴。让小球从斜槽上离水平桌面高为h处静止释放，使其水平抛出，通过多次描点可绘出小球做平抛运动时球心的轨迹，如图所示。在轨迹上取一点A，读取其坐标(x₀，y₀)，重力加速度为g。

(1)下列说法正确的是________。

A．实验所用斜槽应尽量光滑

B．画轨迹时应把所有描出的点用平滑的曲线连接起来

C．求平抛运动初速度时应读取轨迹上离原点较远的点的数据

(2)根据题目所给信息，小球做平抛运动的初速度大小v₀＝________。

A.   B.

C．x₀2h(g)   D．x₀2y0(g)

(3)在本实验中要求小球多次从斜槽上同一位置由静止释放的理由是______________。

答案　(1)C　(2)D　(3)确保多次运动的轨迹相同

解析　(1)只要保证小球每次从同一位置静止释放，到达斜槽末端的速度大小都相同，与实验所用斜槽是否光滑无关，故A错误；

画轨迹时应舍去误差较大的点，把误差小的点用平滑的曲线连接起来，故B错误；

求平抛运动初速度时应读取轨迹上离原点较远的点的数据，便于减小读数产生的偶然误差的影响，故C正确。

(2)坐标原点O为抛出点，由平抛运动规律有x₀＝v₀t，y₀＝2(1)gt²

联立解得平抛运动的初速度为v₀＝x₀2y0(g)，故选D。

(3)小球多次从斜槽上同一位置由静止释放是为了保证到达斜槽末端的速度大小都相同，从而能确保多次运动的轨迹相同。

2．(2022福建卷)某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹。上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O₁、O₂、O₃…的坐标，并填入表格中，计算对应的x²值。

(1)根据上表数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O₄数据点，并绘制“y－x²”图线。

(2)由y－x²图线可知，小球下落的高度y，与水平距离的平方x²成____________(填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。

(3)由y－x²图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v₀＝____________(用斜率k和重力加速度g表示)。

(4)该实验得到的y－x²图线常不经过原点，可能的原因是____________________________。

答案　(1)见解析图　(2)线性　(3)2k(g)　(4)水平射出点未与O点重合

解析　(1)根据表中数据在坐标纸上描出O₄数据点，并绘制“y－x²”图线如图所示

(2)由y－x²图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y，与水平距离的平方x²成线性关系。

(3)根据平抛运动规律可得x＝v₀t

y＝2(1)gt²

联立可得y＝2(1)g(v0(x))²＝2v02(g)x²

可知y－x²图像的斜率为k＝2v02(g)

解得小球平抛运动的初速度为v₀＝2k(g)

(4)y－x²图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。

3．(2024广大附中期初)在“探究平抛运动的特点”实验中：

(1)重复实验数次，无论打击力大或小，仪器距离地面高或低，A、B两球总是同时落地，该实验表明_________．

甲

A．平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动

B．平抛运动水平方向的分运动是匀加速直线运动

C．平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动

D．平抛运动竖直方向的分运动是匀速直线运动

(2)如图乙所示，在探究平抛运动水平分运动的特点时，下列器材中除木板、小球、斜槽、铅笔、刻度尺、图钉、白纸和复写纸之外，还需要的有_________(填“弹簧测力计”“重垂线”或“天平”)．

乙

(3)实验中，下列说法中正确的是_________．

A．斜槽轨道要尽量光滑

B．只要每次小球从斜槽上相同的位置开始运动即可

C．斜槽轨道末端要保持水平

D．记录点应适当多一些，这样描绘出的轨迹更好地反映真实运动

(4)用平滑的曲线把小球在白纸上留下的印迹连接起来，得到小球做平抛运动的轨迹，建立直角坐标系，坐标原点选在_________．

A．斜槽末端端点

B．小球在斜槽末端时的球心

C．小球在斜槽末端时球的上端

D．小球在斜槽末端时球的下端

(5)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L＝5 cm，通过实验记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为_________ m/s．(取g＝10 m/s²，结果保留两位有效数字)

丙

答案(1)C　(2)重垂线　(3)BCD　(4)B　(5)1.5

解析(1)B球是自由落体运动，而A、B两球总是同时落地，故可以证明A球在平抛运动过程中竖直方向的分运动是自由落体运动，故选C．

(2)还需要的器材是重垂线，确保小球抛出是在竖直面内运动，能够在白纸上画出水平竖直方向的坐标系．

(3)为了能画出平抛运动轨迹，首先保证小球做的是平抛运动，所以斜槽轨道不一定要光滑，但必须是水平的，故A错误，C正确；应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滑下，保证抛出的初速度相同，故B正确；要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些．故D正确．

(4)平抛过程中应选小球在斜槽末端时的球心的位置为坐标原点，故选B．

(5)竖直方向为匀加速直线运动，即连续相等的时间内位移之差为定值Δh＝5L－3L＝gT²，解得T＝0.1 s，水平方向做匀速直线运动，即该小球做平抛运动的初速度为v＝T(xAB)＝T(3L)＝1.5 m/s．

4．(2023汕头二模)小晗同学利用图甲所示装置研究平抛运动的规律．实验时该同学使用手机连拍功能对做平抛运动的小球进行拍摄，手机每秒拍摄7张照片并能自动将拍摄的图片进行叠加处理在一张照片中，图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为10 cm．

甲

(1)下列说法中正确的是_________．

A．实验所用斜槽应尽量光滑

B．斜槽末端必须保持水平

C．必须无初速度释放小球

(2)图乙是实验中小球从斜槽上不同位置由静止释放获得的两条轨迹，图线①所对应的小球在斜槽上释放的位置_________(填“较低”或“较高”)．

乙

(3)某次拍摄后得到的照片如图丙所示，小球做平抛运动的初速度大小v₀＝_________m/s．

丙

 (4)该小组利用实验数据绘制“y－x²”图线，发现是一条过原点的直线，由此判断小球下落的轨迹是抛物线，并求得斜率k，当地的重力加速度表达式为g＝_________(用斜率k和初速度v₀表示)．

答案(1)B　(2)较高　(3)2.8　(4)2kv0(2)

解析(1)实验所用斜槽不需要光滑，故A错误；斜槽末端必须保持水平，使物体做平抛运动，故B正确；本实验使用手机连拍功能对做平抛运动的小球进行拍摄，故无须静止释放小球，故C错误．

(2)由图像可知两小球做平抛运动下落相同高度时，图线①水平位移更大，故图线①所对应的小球初速度较大，在斜槽上释放的位置较高．

(3)由频闪照片可得，小球在竖直方向相邻位移之差Δy＝2×10 cm＝0.2 m，根据匀变速直线运动特点可得T＝g(Δy)＝10(2) s，由水平分运动Δx＝v₀T，可得v₀＝T(Δx)＝2(4×10×10－2) m/s＝2 m/s≈2.8 m/s．

(4)根据平抛运动规律可得x＝v₀t，y＝2(1)gt²，联立可得y＝2(1)gv0(x)＝0(2)(2)x²，可知y－x²图像的斜率为k＝0(2)(2)，当地的重力加速度表达式为g＝2kv0(2)．

5．实验小组做“探究平抛运动的规律”实验：

(1)如图所示是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y₁为5.0 cm、y₂为45.0 cm，A、B两点水平间距为60.0 cm，则平抛小球的初速度v₀为_________m/s．(结果保留两位有效数字，取g＝10 m/s²)

(2)该同学在实验时忘记描下O点，他用一张印有小方格的纸记录小球运动轨迹，小方格的边长为L，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的A、B、C所示，当地重力加速度为g，以下问题用已知量对应的字母表示，则：

①小球从A到C的时间为_________．

②小球经过B点时速度的水平分速度为_________．

③小球在C点时速度的竖直分速度为_________．

答案(1)3.0　(2)①2g(2L)　②2(2gL)

③3

解析(1)根据平抛运动的处理方法，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，所以y₁＝2(1)gt1(2)，y₂＝2(1)gt2(2)，水平方向的速度即平抛小球的初速度为v₀＝t2－t1(Δx)，得v₀＝3.0 m/s．

(2)①在竖直方向上，根据Δy＝2L＝gT²得T＝g(2L)，则A到C的时间t＝2T＝2g(2L)．

②小球经过B点时水平分速度v_x＝2T(6L)＝2(2gL)．

③小球在B点时的竖直分速度v_yB＝2T(8L)＝2，则小球在C点的竖直分速度v_yC＝v_yB＋gT＝3．

考向2 创新实验

6．某实验小组利用如图甲所示装置测定平抛运动的初速度。把白纸和复写纸叠放一起固定在竖直木板上，在桌面上固定一个斜面，斜面的底边ab与桌子边缘及木板均平行。每次改变木板和桌边之间的距离，让钢球从斜面顶端同一位置滚下，通过碰撞复写纸，在白纸上记录钢球的落点。

(1)为了正确完成实验，以下做法必要的是______。

A．实验时应保持桌面水平

B．每次应使钢球从静止开始释放

C．使斜面的底边ab与桌边重合

D．选择与钢球间的摩擦力尽可能小的斜面

(2)实验小组每次将木板向远离桌子的方向移动0.2 m，在白纸上记录了钢球的4个落点，相邻两点之间的距离依次为15.0 cm、25.0 cm、35.0 cm，如图乙。重力加速度g＝10 m/s²，钢球平抛运动的初速度为________ m/s。

(3)图甲装置中，木板上悬挂一条铅垂线，其作用是

________________________。

答案　(1)AB　(2)2　(3)方便调整木板，使其保持在竖直平面上

解析　(1)实验过程中要保证钢球水平抛出，所以要保持桌面水平，故A正确；为保证钢球抛出时速度相同，每次应使钢球从同一位置由静止释放，故B正确；实验只要每次钢球水平抛出时速度相同即可，斜面底边ab与桌面重合时，钢球不是水平抛出，而钢球与斜面间的摩擦力大小对于本实验无影响，故C、D错误。

(2)每次将木板向远离桌子的方向移动0.2 m，则在白纸上记录钢球的相邻两个落点的时间间隔相等，钢球抛出后在竖直方向上做自由落体运动，根据Δx＝gT²可知，相邻两点的时间间隔T＝10((25.0－15.0)×10－2) s＝0.1 s，钢球在水平方向上做匀速直线运动，所以钢球平抛的初速度为v＝T(x)＝0.1(0.2) m/s＝2 m/s。

(3)悬挂铅垂线的目的是方便调整木板，使其保持在竖直平面上。

7．利用频闪仪给运动物体拍照是研究物体做变速运动常用的实验手段。在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置。某物理小组利用图甲所示装置探究平抛运动的规律。他们分别在该装置正上方A处和右侧正前方B处安装了频闪仪并进行了拍摄，得到的频闪照片如图乙所示，O为抛出点，P为运动轨迹上某点。根据平抛运动规律分析下列问题(g取10 m/s²)。

(1)下面说法正确的是________(填选项前的字母)。

A．使用密度大、体积小的小球

B．必须测出平抛小球的质量

C．斜槽轨道末端切线水平

D．尽量减小小球与斜槽之间的摩擦力

(2)图乙中，B处频闪仪所拍摄的频闪照片为乙图中的________(选填“a”或“b”)。

(3)测得图乙a中OP距离为45 cm，b中OP距离为30 cm，小球在P点速度大小应为________ m/s。(结果可用根号表示)

答案　(1)AC　(2)a　(3)

解析　(1)为了减小空气阻力的影响，使用密度大、体积小的小球，A正确；不必测出平抛小球的质量，B错误；为了使小球离开轨道后做平抛运动，斜槽轨道末端切线水平，C正确；因为每次从同一位置释放小球，小球每次运动与轨道的摩擦力都相同，做平抛运动的初速度都相同，所以不必减小小球与斜槽之间的摩擦力，D错误。

(2)B处频闪仪拍摄小球在竖直方向上的运动，频闪照片为a；

(3)根据平抛运动规律得0.45 m＝2(1)gt²,0.30 m＝v₀t，v_P＝

解得v_P＝ m/s。

8．在“探究平抛运动的特点”实验中：

(1)用图甲装置进行探究，下列说法正确的是________。

A．只能探究平抛运动水平分运动的特点

B．需改变小锤击打的力度，多次重复实验

C．能同时探究平抛运动水平、竖直分运动的特点

(2)用图乙装置进行实验，下列说法正确的是________。

A．斜槽轨道M必须光滑且其末端水平

B．上下调节挡板N时必须每次等间距移动

C．小钢球从斜槽M上同一位置静止滚下

(3)用图丙装置进行实验，竖直挡板上附有复写纸和白纸，可以记下钢球撞击挡板时的点迹。实验时竖直挡板初始位置紧靠斜槽末端，钢球从斜槽上P点静止滚下，撞击挡板留下点迹0，将挡板依次水平向右移动x，重复实验，挡板上留下点迹1、2、3、4。以点迹0为坐标原点，竖直向下建立坐标轴y，各点迹坐标值分别为y₁、y₂、y₃、y₄。重力加速度为g。测得钢球直径为d，则钢球平抛初速度v₀为________。

A．(x＋2(d))2y1(g)   B．(x＋2(d))y2－y1(g)

C．(3x－2(d))2y4(g)   D．(4x－2(d))2y4(g)

答案　(1)B　(2)C　(3)D

解析　(1)用题图甲所示的实验装置，只能探究平抛运动竖直分运动的特点，故A、C错误；在实验过程中，需要改变小锤击打的力度，多次重复实验，故B正确。

(2)为了保证小钢球做平抛运动，需要斜槽末端水平，为了保证小钢球抛出时速度相等，每一次小钢球需要从斜槽M上同一位置静止释放，斜槽不需要光滑，故A错误，C正确；上下调节挡板N时不必每次等间距移动，故B错误。

(3)竖直方向，根据y₁＝2(1)gt₁²

水平方向x－2(d)＝v₀t₁

联立可得v₀＝(x－2(d))2y1(g)，故A错误；

竖直方向：y₁＝2(1)gt₁²，y₂＝2(1)gt₂²

水平方向：x－2(d)＝v₀t₁,2x－2(d)＝v₀t₂

联立可得v₀＝2(y2－y1)(gx(3x－d))，故B错误；竖直方向根据y₄＝2(1)gt₄²

水平方向4x－2(d)＝v₀t₄

联立可得v₀＝(4x－2(d))2y4(g)，故D正确，C错误。

9．(2023广州综合测试一)用如图甲所示的装置研究平抛运动，请完成相关实验内容．

甲

(1)将斜轨固定在桌面上，反复调节斜轨末端成水平．

(2)在末端出口处安装光电门并调节其到适当位置．将贴有坐标纸的木板紧靠在斜轨出口处竖直放置，并在坐标纸上将出口处标为O点，过O点作水平线为x轴、竖直线为y轴．

(3)用螺旋测微器测量小球的直径d，读数如图乙所示，则d＝_________mm．

乙

(4)从斜轨上释放小球，用每隔 30(1) s曝光一次的频闪照相机正对着木板照相．

(5)从数字计时器读得小球通过光电门的遮光时间为6.2×10^－3 s，则小球通过光电门时的瞬时速度为v₁＝_________m/s．(结果保留两位有效数字)

(6)根据频闪照片中记录的信息，在图甲的坐标纸上标出小球离开斜轨后的5个连续位置A、B、C、D、E，读得A、E两位置的水平距离为12.00 cm，由此可求得小球做平抛运动的初速度为v₂＝_________m/s．(结果保留两位有效数字)

(7)多次实验发现总是有v₁＞v₂，导致这个结果的可能原因有_________．(填选项前的字母)

A．小球在轨道斜面上受摩擦阻力

B．小球平抛运动过程受空气阻力

C．小球平抛运动轨迹平面与坐标纸不平行

D．小球经过光电门时，球心与光线不在同一高度

答案(3)6.200(6.198～6.202)　(5)1.0　(6)0.90(0.82～0.92)　(7)BCD

解析(3)小球的直径d＝6 mm＋20.0×0.01 mm＝6.200 mm．

(5)小球通过光电门时的瞬时速度为v₁＝t(d)＝6.2×10－3(6.200×10－3) m/s＝1.0 m/s．

(6)相邻两点间的距离和时间间隔分别为3.00 cm、30(1) s，所以小球做平抛运动的初速度为v₂＝t(x)＝s(1)＝0.90 m/s．

(7)轨道斜面的作用是使小球获得一个水平初速度，小球在轨道斜面上受摩擦阻力并不影响v₂的大小，故A不符合题意；小球平抛运动过程受空气阻力，使得小球水平方向做减速运动，水平位移偏小，v₂值偏小，故B符合题意；小球平抛运动轨迹平面与坐标纸不平行，会造成小球运动过程中在坐标纸上的水平投影位移偏小，v₂偏小，故C符合题意；小球经过光电门时，球心与光线不在同一高度，会造成遮光时间变短，则造成v₁偏大，故D符合题意．

10．(2023东莞调研)图甲为某种瓶装水电动取水器，某实验小组利用平抛运动规律测量该取水器取水时的流量(单位时间流出水的体积)．实验方案如下：

甲

(1)利用游标卡尺测量取水器出水管内径d，如图乙所示，应利用游标卡尺_________(填图乙中的字母代号)部分进行测量，读数为_________mm．

乙

(2)调节取水器管口方向，使取水器启动后，水从管口水平射出．

(3)待水在空中形成稳定的弯曲水柱后，紧贴水柱后方放置白底方格板(已知每个正方格的边长为L)，并利用手机正对水柱拍摄照片，如图丙所示．

丙

(4)已知当地重力加速度为g，根据图丙可以计算水从O点运动到P点所需要的时间为_________(用L、g进行表示)．

(5)已知流量的决定式为Q＝S·v(其中S为水流的横截面积，v为水流的速度大小)．由上述信息可得出取水器取水时的流量为_________(用L、g、d进行表示)．

答案(1)A　5.5　(4)g(10L)　(5)πd²5(2gL)

解析(1)游标卡尺测量内径应该用内测量爪，即A部分；其读数为d＝5 mm＋0.1×5 mm＝5.5 mm．

(4)由公式有5L＝2(1)gt²，解得t＝g(10L)．

(5)由图得8L＝vt，由Q＝S·v，S＝4(πd2)，解得Q＝πd²5(2gL)．

考点2 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系

1．实验目的

(1)探究向心力大小与半径的关系．

(2)探究向心力大小与角速度的关系．

(3)探究向心力大小与质量的关系．

2．实验原理

探究向心力与多个物理量之间的关系，采用了__控制变量__的思想方法．如图所示，匀速转动手柄，使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内的(指向圆周运动圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力．而该弹力大小可以通过__标尺__上刻度读出，该读数显示了向心力大小．

可以通过两个小球同时做圆周运动对照．

(1)在__质量、半径__不变的情况下，探究向心力大小与角速度的关系．

(2)在__角速度、质量__不变的情况下，探究向心力大小与半径的关系．

(3)在__半径、角速度__不变的情况下，探究向心力大小与质量的关系．

3．实验器材

向心力演示器、质量不等的小球．

4．实验步骤

(1)分别将两个质量相等的小球放在仪器的两个小槽中，且小球到转轴(圆心)距离相同，圆周运动半径__相等__．将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度不相等，转动转盘，观察标尺上显示的向心力大小，分析向心力大小与圆周运动角速度的关系．

(2)分别将两个质量__相等__的小球放在仪器的长槽和短槽两个小槽中，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度__相等__，小球到转轴(圆心)距离不同，圆周运动半径不等．转动转盘，观察标尺上显示的向心力大小，分析向心力大小与圆周运动半径的关系．

(3)分别将两个质量不相等的小球放在仪器的两个小槽中，且小球到转轴(圆心)距离相同，圆周运动半径相等，将皮带放置在适当位置使两转盘转动角速度相等．转动转盘观察标尺上显示的向心力大小，分析向心力大小与小球质量的关系．

(4)重复几次以上操作，记录下相应数据．

5．数据处理

分别作出__F_n－ω²__、F_n － r、F_n － m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论．

6．注意事项

摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中一个标尺的格数．到达预先设置的格数时，保持转速均匀不变，观察并记录其余读数．

考向1 教材原型实验

11.“探究向心力大小的表达式”实验装置如图所示。

(1)采用的实验方法是________。

A．控制变量法　　B．等效法　　C．模拟法

(2)在小球质量和转动半径相同的情况下，逐渐加速转动手柄到一定速度后保持匀速转动。此时左右标尺露出的红白相间等分标记的比值等于两小球的________________之比(选填“线速度大小”“角速度平方”或“周期平方”)；在加速转动手柄过程中，左右标尺露出红白相间等分标记的比值________(选填“不变”“变大”或“变小”)。

答案　(1)A　(2)角速度平方　不变

解析　(1)本实验先控制住其他几个因素不变，集中研究其中一个因素变化所产生的影响，采用的实验方法是控制变量法，故选A。

(2)标尺上露出的红白相间的等分格数之比为两个小球所需向心力的比值，根据F＝mrω²可知比值等于两小球的角速度平方之比，逐渐加大手柄的转速的过程中，该比值不变，故左右标尺露出的格数之比不变。

12.探究向心力大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间关系的装置如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动．皮带分别套在塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同角速度做匀速圆周运动．小球做圆周运动的向心力由横臂的挡板提供，小球对挡板的弹力使弹簧测力筒下降，露出测力筒内的标尺，标尺上露出的红白相间的等分格数之比为两个小球所受向心力的比值．已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1．

(1)利用了_________(填“理想实验法”“等效替代法”或“控制变量法”)的思想方法探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系．

(2)探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量_________(填“相同”或“不同”)的小球，分别放在挡板C与_________(填“挡板A”或“挡板B”)处，同时选择半径_________(填“相同”或“不同”)的两个塔轮．

(3)当用两个质量相等的小球操作，调整长槽中小球的轨道半径使其为短槽中的两倍，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶2，则左、右两边塔轮的半径之比为_________．

答案(1)控制变量法　(2)相同　挡板B　相同　(3)2∶1

解析 (1)分别探究向心力大小与质量m、角速度ω、半径r之间的关系，所以利用控制变量法．

(2)探究向心力大小与圆周运动半径的关系时，需要控制小球的质量和运动角速度相同，所以应选择两个质量相同的小球．半径不同，分别放在挡板C和挡板B处，同时选择半径相同的两个塔轮．

(3)据F＝mω²R，由题意可知F_右＝2F_左，R_左＝2R_右，可得ω_左∶ω_右＝1∶2，由v＝ωr可得r_左轮∶r_右轮＝2∶1，左、右两边塔轮的半径之比是2∶1．

13.如图所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。

(1)下列说法中正确的是________。

A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变

B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大

C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变

D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大

(2)如图甲所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：

操作一：手握绳结点A，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。

操作二：手握绳结点B，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。

操作三：手握绳结点A，使杯在水平方向每秒运动二周，体会向心力的大小。

操作四：手握绳结点A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。

则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；

操作三与一相比较：质量、转动半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；

操作四与一相比较：____________________相同，向心力大小与________有关；

②物理学中此种实验方法叫________法。

③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样。”你认为该同学的说法是否正确，为什么？

答案(1)BD　(2)①角速度(线速度)、转动半径　质量　②控制变量　③见解析

解析(1)由题意，根据向心力公式F_向＝mω²r，由牛顿第二定律，则有T_拉＝mω²r；保持质量、绳长不变，增大转速，根据公式可知，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，据公式可知，绳对手的拉力将增大，故C错误，D正确。

(2)根据向心力公式F_向＝mω²r，由牛顿第二定律，则有T_拉＝mω²r；操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、转动半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：角速度、转动半径相同，向心力大小与质量有关；物理学中此种实验方法叫控制变量法。

说法不对。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验时受力分析的对象是水杯，细绳的拉力提供水杯做圆周运动的向心力指向圆心。细绳对手的拉力与“向心力”大小相等，方向相反，背离圆心。

考向2 创新实验

14.(2023广东省模拟)某物理兴趣小组利用传感器进行“探究向心力大小F与半径r、角速度ω、质量m的关系”实验，实验装置如图甲所示，装置中水平光滑直杆能随竖直转轴一起转动，将滑块套在水平直杆上，用细线将滑块与固定的力传感器连接。当滑块随水平光滑直杆一起匀速转动时，细线的拉力提供滑块做圆周运动的向心力。拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的角速度可以通过角速度传感器测得。

(1)小组同学先让一个滑块做半径r为0.20 m的圆周运动。得到图乙中②图线。然后保持滑块质量不变。再将运动的半径r分别调整为0.14 m、0.16 m、0.18 m、0.22 m，在同一坐标系中又分别得到图乙中⑤、④、③、①四条图线。

(2)本实验所采用的探究方法与下列哪些实验是相同的________。

A．探究平抛运动的特点

B．探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系

C．探究两个互成角度的力的合成规律

D．探究加速度与物体受力、物体质量的关系

(3)对②图线的数据进行处理，获得了F－x图像，如图丙所示，该图像是一条过原点的直线，则图像横坐标x代表的是________。(用半径r、角速度ω、质量m表示)

(4)对5条F－ω图线进行比较分析，作F－r图像，得到一条过坐标原点的直线，则该直线的斜率为________________。(用半径r、角速度ω、质量m表示)

答案　(2)BD　(3)ω²(或mω²等带ω²即可)　(4)mω²

解析　(2)本实验所采用的探究方法是保持滑块质量不变，探究运动半径在不同值时，滑块所需的向心力大小与角速度之间的关系，属于控制变量法，与“探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系”和“探究加速度与物体受力、物体质量的关系”实验探究方法相同；“探究平抛运动的特点”和“探究两个互成角度的力的合成规律”两实验的探究方法是等效法。故选B、D。

(3)②图线中各图线均为曲线，对②图线的数据进行分析可以看出，当ω增大为原来的2倍时，F增大为原来的4倍，当ω增大为原来的3倍时，F增大为原来的9倍……可知，F与ω²成正比，以F为纵轴，ω²为横轴，则图像是一条过原点的直线，故图像横坐标x代表的是ω²。

(4)由(3)中分析知在r一定时，F与ω²成正比；F－r图像又是一条过坐标原点的直线，F与r成正比；同时F也应与m成正比，归纳可知，F－r图像的斜率为mω²。

15.如图所示是“DIS向心力实验器”，当质量为m的砝码随旋转臂一起在水平面内做半径为r的圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋转臂另一端的挡光杆(挡光杆的挡光宽度为Δs，旋转半径为R)每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力大小F和角速度ω的数据。

(1)某次旋转过程中挡光杆经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________。

(2)以F为纵坐标，以________(选填“Δt”“Δt(1)”“(Δt)²”或“()Δt2(1)”)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝________。(用上述已知量的字母表示)

答案　(1)RΔt(Δs)　(2)(Δt)2(1)　mR2((Δs)2)r

解析　(1)挡光杆通过光电门时的线速度大小为

v＝Δt(Δs)，由ω＝R(v)，解得ω＝RΔt(Δs)

(2)根据向心力公式有F＝mω²r，

将ω＝RΔt(Δs)，代入上式解得F＝mR2(Δt)2((Δs)2)r，可以看出，以(Δt)2(1)为横坐标，以F为纵坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线，该直线的斜率为k＝mR2((Δs)2)r。

16.(2023广东省联考)某同学用如图甲所示装置探究验证向心力相关问题，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球，钢球静止时刚好位于光电门中央，主要实验步骤如下：

(1)如图乙所示，用游标卡尺测出钢球直径d＝________ cm；

(2)将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F₁，用米尺量出线长为L；

(3)将钢球拉至适当的高度处由静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F₂；已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式F_向＝mR(v2)＝________；钢球经过光电门时所受合力的表达式F_合＝________；比较二者在实验误差允许的范围内是否相等；

(4)改变钢球释放高度重复步骤(3)，可以用控制变量法探究钢球做圆周运动向心力与________的关系。

答案　(1)1.050　(3)t(d)　)(d)　F₂－F₁　(4)线速度

解析　(1)题图乙中钢球的直径d＝10 mm＋10×0.05 mm＝10.50 mm＝1.050 cm

(3)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以通过光电门的速度v＝t(d)

根据题意知，钢球圆周运动的半径为：R＝(L＋2(d))，钢球质量：m＝g(F1)，向心力表达式F_向＝mR(v2)＝)(d)

钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，所受合力为F_合＝F₂－mg＝F₂－F₁

(4)改变钢球释放高度，则钢球每次经过光电门位置的线速度不同，从而可以通过控制变量法探究钢球做圆周运动向心力与线速度的关系。

17.为探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，某实验小组通过如图甲所示装置进行实验。滑块套在水平杆上，随水平杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力F的大小。滑块上固定一遮光片，宽度为d，光电门可以记录遮光片通过的时间，测得旋转半径为r。滑块随杆做匀速圆周运动，每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和角速度ω的数据。

(1)为了探究向心力与角速度的关系，需要控制________和________保持不变，某次旋转过程遮光片经过光电门时的遮光时间为Δt，则角速度ω＝________；

(2)以F为纵坐标，以()Δt2(1)为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，图线斜率为k，则滑块的质量为________(用k、r、d表示)；图线不过坐标原点的原因是________________________。

答案　(1)滑块质量　旋转半径　rΔt(d)　(2)d2(kr)　滑块受到摩擦力

解析　(1)根据控制变量法，为了探究向心力与角速度的关系，需要控制滑块质量和旋转的半径不变；

滑块转动的线速度大小为v＝Δt(d)

又ω＝r(v)，解得ω＝rΔt(d)

(2)根据向心力公式可知F＝mω²r

联立解得F＝mr(Δt)2(d2)，

由于k＝mr(d2)

可得滑块的质量为m＝d2(kr)

由图线可知，当F＝0，而(Δt)2(1)≠0

可知图线不过坐标原点的原因是滑块受到摩擦力。

18．某同学想测量某地重力加速度g的大小和圆弧轨道的半径R。所用装置如图甲所示，一个倾角为37°的固定斜面与竖直放置的光滑圆弧轨道相切，一个可以看作质点、质量为m的滑块从斜面上某处由静止滑下，滑块上有一个宽度为d的遮光条，在圆弧轨道的最低点有一光电门和一压力传感器(没有画出)，可以记录挡光时间t和传感器受到的压力F，已知重力加速度为g。

(1)若某次挡光时间为t₀，则此时遮光条速度v＝________；

(2)实验过程中从斜面的不同位置释放滑块，然后记录对应的遮光时间t和压力传感器的示数F，得到多组数据，该同学通过图像法来处理数据，得到如图乙所示的图像，但忘记标横轴表示的物理量，请通过推理补充，横轴表示的物理量为________(填“t”“t(1)”“t²”或“t2(1)”)；

(3)已知图乙中图线的斜率为k，纵轴截距为b，则可知某地重力加速度g＝________；圆弧轨道的半径R＝________。(用已知物理量符号表示)

答案　(1)t0(d)　(2)t2(1)　(3)m(b)　k(md2)

解析　(1)利用极短时间内的平均速度表示瞬时速度，则遮光条通过光电门的速度v＝t0(d)

(2)由牛顿第二定律有，在最低点F_N－mg＝R(mv2)

由牛顿第三定律有F_N＝F

解得F＝mg＋R(mv2)＝mg＋Rt2(md2)＝mg＋R(md2)·t2(1)

所以横轴表示t2(1)

(3)由表达式可知k＝R(md2)，b＝mg

解得g＝m(b)；R＝k(md2)。