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专题06 人造卫星 双星模型

考点1 卫星参数的比较

考点2 变轨问题

考点3 天体的追及相遇问题　

考点4 双星模型

考点一 卫星参数的比较

人造卫星

1、地球静止轨道卫星的6个“一定”

2、地球静止轨道卫星与同步卫星的关系

地球同步卫星位于地面上方，其离地面高度约为 36 000 km，周期与地球自转周期相同，但轨道平面与绕行方向可以是任意的。地球静止轨道卫星是一种特殊的同步卫星。

3、规律方法

如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r₁；b为地球同步卫星，轨道半径为r₂；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r₃。

1．（多选）我国发射了宇宙探测卫星“慧眼”，卫星携带了X射线调制望远镜，在离地550 km的轨道上观察遥远天体发出的X射线，为宇宙起源研究提供新的证据，则卫星的(　　)

A.角速度大于地球自转角速度

B.线速度小于第一宇宙速度

C.周期大于同步卫星的周期

D.向心加速度小于地面的重力加速度

答案　ABD

解析　万有引力提供向心力Gr2(Mm)＝mT2(4π2)r

解得T＝2πGM(r3)

该卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，同步卫星相对地球静止，则T＜T_同步＝T_地球，选项C错误；

根据ω＝T(2π)可知ω＞ω_同步＝ω_地球，A正确；

万有引力提供向心力Gr2(Mm)＝mr(v2)

解得v＝r(GM)

第一宇宙速度为卫星贴近地球表面运行的速度大小，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星线速度小于第一宇宙速度，B正确；

万有引力提供加速度Gr2(Mm)＝ma

解得a＝r2(GM)

贴近地表运行的卫星的向心加速度近似等于地表的重力加速度，该卫星的轨道半径大于地球半径，所以该卫星向心加速度小于地面的重力加速度，D正确。

2．(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　)

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期

B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

答案AB　

解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A正确；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：G(R＋h)2(Mm)＝m(R＋h)T2(4π2)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。

3．如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　)

A．根据v＝可知v_A<v_B<v_C

B．根据万有引力定律可知F_A>F_B>F_C

C．角速度ω_A>ω_B>ω_C

D．向心加速度a_A<a_B<a_C

答案C　

解析 由题图知三颗不同的人造地球卫星的轨道半径关系为r_A<r_B<r_C，由万有引力提供向心力得r2(GMm)＝mr(v2)＝mrω²＝ma可知v＝r(GM)，所以v_A>v_B>v_C，选项A错误；由于三颗卫星的质量关系不确定，故万有引力大小不确定，选项B错误；ω＝r3(GM)，所以ω_A>ω_B>ω_C，选项C正确；a＝r2(GM)，所以a_A>a_B>a_C，选项D错误。

4．(多选)如图所示，赤道上空的卫星A距地面高度为R，质量为m的物体B静止在地球表面的赤道上，卫星A绕行方向与地球自转方向相同。已知地球半径也为R，地球自转角速度为ω₀，地球的质量为M，引力常量为G。若某时刻卫星A恰在物体B的正上方(已知地球同步卫星距地面高度比卫星A大很多)，下列说法正确的是(　　)

A．物体B与卫星A的向心加速度大小之比为0()

B．卫星A的线速度为2ω₀R

C．卫星A的角速度大于ω₀

D．物体B受到地球的引力为mRω0(2)

答案AC　

解析 卫星A运动过程中，万有引力充当向心力，故有G(2R)2(Mm)＝ma_A，解得a_A＝4R2(GM)，物体B的向心加速度a_B＝ω0(2)R，因此向心加速度之比为aA(aB)＝0()，A正确；绕地卫星受到的万有引力提供向心力，r2(GMm)＝mω²r，解得ω＝r3(GM)，和同步卫星相比，卫星A的轨道半径远小于同步卫星轨道半径，故卫星A的运行角速度大于同步卫星的运行角速度，而同步卫星的运行角速度和地球自转角速度相等，所以卫星A的角速度大于ω₀，C正确；卫星A的线速度v＝ω·2R>ω₀·2R，B错误；物体B受到万有引力分解为两部分，一部分为重力，一部分为随地球自转需要的向心力，而向心力为mω0(2)R，所以两者不等，D错误。

5．“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是(　 )

A．a与b都是高度相同的人造地球卫星

B．b的线速度小于c的线速度

C．b的线速度大于a的线速度

D．b的加速度大于a的加速度

答案B

解析　a是人造地球卫星，但b不是，故A错误；b与c的角速度相同，但b运动半径小于c运动半径，所以b的线速度小于c的线速度，故B正确；b与c的角速度相同，a的角速度大于c的角速度，故b的角速度小于a的角速度，又由于a、b做圆周运动的半径相同，故b的线速度小于a的线速度，b的加速度小于a的加速度，故C、D错误。

考点2 变轨问题

1．变轨原理及过程

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．各物理量的比较

(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中v_ⅢB>v_ⅡB，v_ⅡA>v_ⅠA。

(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中v_ⅡA>v_ⅡB，E_kⅡA>E_kⅡB，E_pⅡA<E_pⅡB。

(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中v_Ⅰ>v_Ⅲ。

(4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中E_Ⅰ<E_Ⅱ<E_Ⅲ。

(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中a_ⅢB＝a_ⅡB，a_ⅡA＝a_ⅠA。

6．(2024广东清远诊断)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点，忽略卫星质量变化，下列说法正确的是(　　)

A．卫星在三个轨道上的周期T₃>T₂>T₁

B．由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气

C．卫星在三个轨道上机械能E₃＝E₂>E₁

D．卫星在轨道1的Q点的线速度小于在轨道3的线速度

答案C　

解析 根据开普勒第三定律＝k可知，卫星在三个轨道上的周期T₃＝T₂>T₁，故A错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，故B错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，机械能增大，而在轨道2、3上，高度相同，根据v＝可知，速度大小相同，动能相同，则机械能相同，故E₃＝E₂>E₁，故C正确；卫星在轨道1的Q点的线速度大于对应圆轨道的线速度，根据v＝可知卫星在Q点对应圆轨道的线速度大于在轨道3的线速度，故卫星在轨道1的Q点的线速度大于在轨道3的线速度，故D错误。

7．“神舟十一号”飞船与“天宫二号”空间实验室在太空中自动交会对接成功，是我国航天史上的一个重要里程碑。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　 )

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

答案C

解析 　若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，D错误。

8．我国在西昌卫星发射中心发射“中星9A”广播电视直播卫星，按预定计划，“中星9A”应该首先被送入近地点约为200公里，远地点约为3.6万公里的转移轨道Ⅱ(椭圆)，然后通过远地点Q变轨，最终进入地球同步轨道Ⅲ(圆形)(如图所示)。但是由于火箭故障，卫星实际入轨后初始轨道远地点只有1.6万公里，科技人员没有放弃，通过精心操作，利用卫星自带燃料在近地点点火，尽量抬高远地点的高度，经过10次轨道调整，终于将其成功定位于预定轨道，下列说法正确的是(　 )

A．卫星从轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ后机械能不变

B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和轨道Ⅱ经过Q点时的速度相同

C．卫星在轨道Ⅰ经过P点时和轨道Ⅱ经过P点时的加速度相同

D．“中星9A”发射失利原因可能是发射速度没有达到7.9 km/s

答案　C

解析　卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ轨道半径变大，要做离心运动，卫星应从轨道Ⅰ的P点加速后才能做离心运动从而进入轨道Ⅱ，卫星加速过程机械能增加，故A错误；卫星由Ⅱ的Q点加速后才能进入Ⅲ，由此可知，卫星在轨道Ⅲ经过Q点时的速度大于轨道Ⅱ经过Q点时的速度，故B错误；根据牛顿第二定律可知，在同一个点卫星所受的万有引力相同，故卫星在不同轨道上的同一点P上的加速度相同，故C正确；卫星的最小发射速度为7.9 km/s，卫星已经发射，失利原因不可能是发射速度没有达到7.9 km/s，故D错误。

9．(多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是(　　)

A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ

B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期

C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度

D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变

答案 AD　

解析 要使“嫦娥五号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，则沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥五号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。

10．(2023湛江测试一)2022年11月30日，“神舟十五号”载人飞船与“天和”核心舱完成对接，航天员费俊龙、邓清明、张陆进入“天和”核心舱．对接过程的示意图如图所示，“天和”核心舱处于半径为r₃的圆轨道Ⅲ；“神舟十五号”飞船处于半径为r₁的圆轨道Ⅰ，运行周期为T₁，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与“天和”核心舱对接，则“神舟十五号”飞船(　　)

A．由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点减速

B．沿轨道 Ⅱ 运行的周期为T₂＝T₁3(2r1)

C．在轨道Ⅰ上A点的加速度大于在轨道Ⅱ上A点的加速度

D．在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度

答案 D

解析 由低轨道进入高轨道需要点火加速，所以轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，故A错误；根据开普勒第三定律，有1(3)1(2)(2)＝2(2)(2)，解得T₂＝T₁3(r1＋r3)，故B错误；由于在轨道Ⅰ、Ⅱ上A点的万有引力相同，加速度也相同，故C错误；由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需在B点加速，所以在轨道Ⅲ上B点的线速度大于在轨道Ⅱ上B点的线速度，故D正确．

考点3 天体的追及相遇问题　

1．相距最近

当两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星的角度关系为(ω_A－ω_B)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ω_A＋ω_B)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，两卫星转过的圈数关系为－＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＋＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。

2．相距最远

当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动角度关系应满足(ω_A－ω_B)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)，或(ω_A＋ω_B)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。两卫星转过的圈数关系为－＝(n＝1，2，3，…)(同向)，或＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)。

11.(多选)假设三颗卫星a、b、c均在赤道平面上空绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗卫星的周期分别为T_a＝6 h、T_b＝24 h、T_c＝12 h，某一时刻三个卫星位置如图所示．从该时刻起，下列说法中正确的是(　　)

A．a、b每经过4 h相距最近一次

B．a、b经过8 h第一次相距最远

C．a、c经过2 h第一次相距最远

D．a、c经过8 h相距最近

答案CD

解析 a、b转动方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为t₁，由Ta(t1)－Tb(t1)＝1，解得 t₁＝8 h，a、b每经过8 h相距最近一次，故A、B错误；a、c转动方向相反，设经过时间t₂ a、c第一次相距最远，则Ta(t2)＋Tc(t2)＝2(1)，解得t₂＝2 h，C正确；a、c转动方向相反，在相距最近的过程中，a、c共转n圈，设相遇的时间为t₂，则由Ta(t2)＋Tc(t2)＝n(n＝1，2，3，…)，当n＝2，t₂＝8 h，故D正确．

12．(2023湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”．火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示．根据以上信息可以得出(　　)

A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8

B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大

C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4

D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前

答案B

解析 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有火(3)地(3)(3)＝火(2)地(2)(2)，可得T地(T火)＝火(3)地(3)(3)＝2(3)，故A错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力等于重力有Gr2(Mm)＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度关系，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω_火＝T火(2π)，ω_地＝T地(2π)，要发生下一次火星冲日，则有T火(2π)t＝2π，解得t＝T火－T地(T火T地)＞T_地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误．

13．(2023广雅中学)如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T₀．某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为(　　)

A．＋1(T0)B．－1(T0)

C．－1(T0)D．＋1(T0)

答案C

解析 由开普勒第三定律得A(3)A(2)(2)＝B(3)B(2)(2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，TB(t)－TA(t)＝2(1)，又由A是地球同步卫星知T_A＝T₀，联立解得t＝－1(T0)，故选C．

14.(多选)(2024广东汕头质检)如图所示，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r_a∶r_b＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　)

A．a、b运动的周期之比为T_a∶T_b＝1∶8

B．a、b运动的周期之比为T_a∶T_b＝1∶4

C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次

D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次

答案 AD　

解析 根据开普勒第三定律，半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设图示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为T_b，则a、b相距最远时t₁－t₁＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，…)，其中t₁≤T_b，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时t₂－t₂＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，…)，其中t₂≤T_b，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。

15．如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω₀，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。

(1)卫星B的运行周期是多少？

(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？

答案　(1)2πR2g((R＋h)3)　(2)－ω0(R2g)

解析　(1)由万有引力定律和向心力公式得

G(R＋h)2(Mm)＝mB(2)(R＋h)，  ①

GR2(Mm)＝mg，  ②

联立①②解得　T_B＝2πR2g((R＋h)3)。 ③

(2)由题意得(ω_B－ω₀)t＝2π  ④

由③得　ω_B＝(R＋h)3(gR2)⑤

代入④得t＝－ω0(R2g)。

考点4 双星模型

1．双星模型

(1)模型构建

绕相同圆心转动的两个星体组成的系统，称之为双星系统，如图所示．

(2)特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，L2(Gm1m2)＝m₁ω1(2)r₁，L2(Gm1m2)＝m₂ω2(2)r₂．

②两颗星的周期及角速度都相同，T₁＝ T₂，ω₁＝ω₂．

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r₁＋r₂＝L．

2．多星模型

(1)模型构建

所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力．除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型

①三颗星体位于同一直线上．两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图甲所示．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图乙所示．

甲

乙

丙

丁

(3)四星模型

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图丙所示．

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于等边三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动，如图丁所示．

16.(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　 )

A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29

B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等

C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小

D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等

答案　BC

解析　由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度ω相等，由F_n＝mω²r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v＝ωr知，线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m₁和m₂，轨道半径分别为r₁和r₂，有()r1＋r22(Gm1m2)＝m₁T(2π)²r₁，()r1＋r22(Gm1m2)＝m₂T(2π)²r₂，联立可得4π2(T2)＝()()Gm1＋m2(r1＋r23)，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律a＝m(F)可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小a₁∶a₂＝29∶36，D错误。

17.(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　 )

A．b星的周期为l＋Δr(l－Δr)T

B．b星的线速度大小为()T(πl－Δr)

C．a、b两星的轨道半径之比为l－Δr(l)

D．a、b两星的质量之比为l＋Δr(l－Δr)

答案 BD

解析 　两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则T_b＝T_a＝T，A错误。a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则r_a＋r_b＝l、r_a－r_b＝Δr，所以r_a＝2(l＋Δr)、r_b＝2(l－Δr)。a、b两星的轨道半径之比rb(ra)＝l－Δr(l＋Δr)，b星的线速度大小v_b＝T(2πrb)＝()T(πl－Δr)，B正确，C错误。两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则Gl2(mamb)＝m_ar_aT(2π)²＝m_br_bT(2π)²，所以a、b两星的质量之比mb(ma)＝ra(rb)＝l＋Δr(l－Δr)，D正确。

18．由于潮汐等因素影响，月球以每年约3～5cm 的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动．多年以后，地球(　　)

A．与月球之间的万有引力变大

B．绕O点做圆周运动的周期不变

C．绕O点做圆周运动的角速度变小

D．绕O点做圆周运动的轨道半径变小

答案 C

解析 多年以后，地球和月球间距离变大，两星的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M₁和M₂，圆周运动的半径分别为r₁和r₂，地球和月球间距离为L，则有L＝r₁＋r₂，由万有引力提供向心力，得L2(GM1M2)＝M₁T(2π)r₁＝M₁ω²r₁，L2(GM1M2)＝M₂T(2π)²r₂＝M₂ω²r₂，联立可得L2(M1＋M2)＝T2(4π2L)＝ω²L，r₁＝M1＋M2(M2L)，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球绕O点做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确．

19．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为m₀的恒星和质量为m的行星(m₀>m)，在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。

(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。

(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。

答案　(1)见解析图　(2)m0(m)a　m0＋m(m)a(Gm0)

解析　(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。

(2)对行星m有

F＝mω²R_m，  ①

对恒星m₀有

F′＝m₀ω²R_m0，  ②

根据牛顿第三定律，F与F′大小相等

由①②得R_m0＝m0(m)a，

对恒星m₀有Rm0(m0v2)＝G(Rm＋Rm0)2(m0m)，

代入数据得v＝m0＋m(m)a(Gm0)。

20．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。

(1)求两星球做圆周运动的周期T。

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T₂。已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg。求T₂与T₁的二次方的比值。(结果保留三位小数)

答案　(1)2πG(M＋m)(L3)　(2)1.012

解析　(1)由题意可知，星球A和B为双星模型，A和B有相同的角速度和周期。

设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有mω²r＝Mω²R，r＋R＝L，

联立解得R＝M＋m(m)L，r＝M＋m(M)L。

对A，根据向心力公式和万有引力定律得

L2(GMm)＝mT(2π)M＋m(M)L，

解得T＝2πG(M＋m)(L3)。

(2)设地球质量为M，月球质量为m，地球、月球中心之间的距离为L′，由题意知，可以将地月系统看成双星系统，

由(1)得T₁＝2πG(M＋m)(L′3)。

若认为月球绕地心做圆周运动，则根据向心力公式和万有引力定律得L′2(GMm)＝mT2(2π)L′，解得T₂＝2πGM(L′3)。

所以T₂与T₁的二次方的比值为T1(T2)＝M(M＋m)＝5.98×1024(5.98×1024＋7.35×1022)≈1.012。