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专题05  万有引力定律的应用

考点1 开普勒三定律

考点2 万有引力与重力的关系

考点3 天体质量和密度的计算

考点4 宇宙速度

考点1 开普勒三定律

开普勒三定律

1．如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是(　 )

A．卫星在C点的速度最大

B．卫星在C点的加速度最大

C．卫星从A经D到C点的运动时间为2(T)

D．卫星从B经A到D点的运动时间为2(T)

 答案C

解析　卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A错误；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度a＝r2(GM)，因A点的距离最小，则卫星在A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知t_ADC＝t_CBA＝2(T)，故C正确；卫星在椭圆上近地点A附近速度较大，卫星在远地点C附近速度较小，则t_BAD<2(T)，t_DCB>2(T)，故D错误。

2．对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法正确的是(　　)。

A.开普勒通过自己长期观测,记录了大量数据,通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律

B.根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨迹是圆,太阳处于圆心位置

C.根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大;距离太阳越远,其运动速度越小

D.根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动的轨道半径跟它的公转周期成正比

答案　C

解析　开普勒在第谷的天文观测数据的基础上,总结出了行星运动的规律,A项错误;行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,B项错误;根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大,距离太阳越远,其运动速度越小,C项正确;根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方成正比,D项错误。

3．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆如图所示。近日点与太阳中心的距离为，远日点到太阳的距离为。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。下列说法中正确的是（　　）

A．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为

B．哈雷彗星在近日点运动的速率与在远日点运动的速率之比为

C．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍

D．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴是地球公转轨道半径的倍

答案C

解析根据开普勒第二定律，取时间微元，结合扇形面积公式，可知                         解得 ，AB错误；地球绕太阳公转的周期为1年，哈雷彗星的周期为 T₁=2061-1986 =75（年）根据开普勒第三定律得解得                        C正确，D错误。

4．从中科院紫金山天文台获悉，该台新发现一颗已飞掠地球的近地小行星(编号2020FD2)．根据观测确定的轨道：近日点在水星轨道以内，远日点在木星轨道之木星地球水星外，小行星的半长轴远大于地球轨道半径，小于木星轨道半径．已知木星绕太阳公转的周期为11．86年，根据这些信息，可判断这颗小行星运动的周期最接近(　　)

A．60天　 B．1年　

C．7年　 D．12年

答案C　

解析将太阳系中八大行星的运行轨道近似为圆轨道，小行星的半长轴大于地球绕太阳的轨道半径，小于木星绕太阳的轨道半径，根据开普勒第三定律，可知小行星的运动周期介于1年与11.86年之间．故选C.

5．如图所示,天文学家观测到某行星和地球在同一轨道平面内绕太阳做同向匀速圆周运动,且行星的轨道半径比地球的轨道半径小,已知地球的运转周期为T。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫作地球对该行星的观察视角(简称视角)。已知该行星的最大视角为θ,当行星处于最大视角处时,是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。求行星绕太阳转动的角速度ω_行与地球绕太阳转动的角速度ω_地的比值。

答案

解析 根据几何关系有R_行=R_地sin θ,根据开普勒第三定律有

所以。

考点2 万有引力与重力的关系

1．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F_向，如图所示。

(1)在赤道上：GR2(Mm)＝mg₁＋mω²R。

(2)在两极上：GR2(Mm)＝mg₂。

2．星体表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GR2(Mm)，得g＝R2(GM)。

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝()R＋h2(GMm)，得g′＝()R＋h2(GM)

所以g′(g)＝()R2(R＋h2)。　

6．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是(　　)

答案　D

解析　设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有πR3(4)＝()πR－h3(4)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有G()R－h2(M′m)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝R3(GM)(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误．

7．地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)

A．Gρ(kgd)   B．Gρ(kgd2)

C．()Gρ(1－kgd)   D．()Gρ(1－kgd2)

答案D

解析 　如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：(1－k)mg＝Gd2(ρVm)，解得：V＝()Gρ(1－kgd2)，D正确。

8．(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R_星∶R_地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则(　　)

A．g′∶g＝1∶5   B．g′∶g＝5∶2

C．M_星∶M_地＝1∶20   D．M_星∶M_地＝1∶80

答案　AD

解析　设初速度为v₀，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝g(2v0)，因此得g(g′)＝5t(t)＝5(1)，选项A正确，B错误；由GR2(Mm)＝mg得M＝G(gR2)，则M地(M星)＝gR地2(g′R星2)＝5(1)×4(1)²＝80(1)，选项C错误，D正确．

9．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F₁＝F₀；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F₂＝2(F0)。假设第三次在赤道平面内深度为2(R)的隧道底部，示数为F₃；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F₄。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是(　　)

A．F₃＝4(F0)，F₄＝4(F0)   B．F₃＝4(F0)，F₄＝0

C．F₃＝4(15F0)，F₄＝0  D．F₃＝4F₀，F₄＝4(F0)

答案B

解析 　设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F₁＝R2(GMm)＝F₀。由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F₂＝2(F0)，则F_n2＝F₁－F₂＝2(1)F₀＝mω²R。行星半径2(R)以内的部分的质量为M′＝R3(3)·M＝8(1)M，物体在2(R)处受到的万有引力F₃′＝2(R)＝2(1)F₁＝2(1)F₀，物体需要的向心力F_n3＝mω²·2(R)＝2(1)mω²R＝4(1)F₀，所以在赤道平面内深度为2(R)的隧道底部，弹簧测力计的示数为F₃＝F₃′－F_n3＝2(1)F₀－4(1)F₀＝4(1)F₀，第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。B正确。

10．（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a₁、a₂、h₀以及引力常量G已知。下列判断正确的是（　　）

A．火星的半径为h₀     B．火星表面的重力加速度大小为a₁

C．火星表面的重力加速度大小为a₂   D．火星的质量为

答案BD

解析分析题图可知，万有引力提供向心力，有    

当h=h₀时，有             

联立解得             R=h₀       

故A错误；D正确；

当h=0时，探测器绕火星表面运行，火星表面的重力加速度大小为a₁。故B正确；C错误。

考点3 天体质量和密度的计算

方法1　“自力更生”法(g－R)

利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。

(1)由GR2(Mm)＝mg得天体质量M＝G(gR2)。

(2)天体密度ρ＝V(M)＝πR3(4)＝4πGR(3g)。

(3)GM＝gR²称为黄金代换公式。

方法2　“借助外援”法(T－r)

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。

(1)由Gr2(Mm)＝mT2(4π2)r得天体的质量M＝GT2(4π2r3)。

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝V(M)＝πR3(4)＝GT2R3(3πr3)。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝GT 2(3π)，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

11.若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为(　 )

A．M＝()GT2(4π2R＋h3)，ρ＝()GT2R3(3πR＋h3)

B．M＝()GT2(4π2R＋h3)，ρ＝()GT2R3(6πR＋h3)

C．M＝()3GT2(4π2R＋h3)，ρ＝()GT2R3(3πR＋h3)

D．M＝()3GT2(4π2R＋h3)，ρ＝()GT2R3(6πR＋h3)

答案　A

解析　将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力有G()R＋h2(Mm)＝mT(2π)²(R＋h)，解得M＝()GT2(4π2R＋h3)，又有M＝ρ3(4)πR³，解得ρ＝()GT2R3(3πR＋h3)，A正确。

12．“嫦娥五号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥五号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ (弧度)，如图所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为(　　)

A．Gθt2(l3)　 B．Gt2(l3θ)　　　　

C．Gθt2(l)　 D．Gθt2(l2)

答案A　

解析线速度为v＝t(l)，角速度为ω＝t(θ)，根据线速度和角速度的关系公式，有v＝ωr，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有r2(GMm)＝mωv，联立解得M＝Gθt2(l3)，A正确．

13．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，总质量为m₁，随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，登陆舱的质量为m₂，则(　　)

A．该星球的质量为M＝1(2)1(2)

B．该星球表面的重力加速度为g₁＝1(2)1(2)

C．登陆舱在半径为r₁与半径为r₂的轨道上运动时的速度大小之比为v2(v1)＝m2r1(m1r2)

D．登陆舱在半径为r₂的轨道上做圆周运动的周期为T₂＝T₁2(3)1(3)1(3)

答案D　

解析 研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式 1(2)1(2)＝m₁1(2)1(2)r₁，得出该星球的质量为M＝1(3)1(2)1(2)，A错误；根据圆周运动知识，a＝1(2)1(2)1(2)只能表示在半径为r₁的圆轨道上的向心加速度，而不等于该星球表面的重力加速度，B错误；研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有R2(GMm)＝R(mv2)，得出v＝R(GM)，表达式里M为中心天体星球的质量，R为运动的轨道半径，所以登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的速度大小之比为v2(v1)＝r1(r2)，C错误；根据万有引力提供向心力，在半径为R的圆轨道上运动，列出等式R2(GMm)＝mT2(4π2R)，得出T＝2πGM(R3)，表达式里M为中心天体的质量，R为运动的轨道半径．所以登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的周期大小之比为T2(T1)＝1(3)2(3)2(3)，所以T₂＝T₁2(3)1(3)1(3)，D正确．

14．(2024年佛山一中月考)2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务——“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道).若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L₁，远火点Q离火星表面的距离为L₂.已知探测器在轨道上运行的周期为T，L₁＋L₂≈18R，引力常量为G.则火星的密度约为(　　)

A．GT2(3 000π)　 B．GT2(2 187π)

C．GT2(300π)　 D．GT2(243π)

答案A　

解析设火星的近地卫星的周期为T₀，“天问一号”的半长轴为r＝2(L1＋L2＋2R)＝10R，由开普勒第三定律可得 T2(r3)＝0(2)0(2)，得T₀＝103(T2).对近地卫星，万有引力提供向心力，则有GR2(Mm)＝mT0(2π)R，解得M＝0(2)0(2).火星的体积V＝3(4)πR³，则火星的密度约为ρ＝V(M)＝GT2(3 000π)，A正确，B、C、D错误．

15．(多选)(2023年清远质检)已知我国太空站的“天和”核心舱距地球的高度为h，绕地球做匀速圆周运动的线速度大小为v，地球的半径为R，引力常量为G，把地球看成质量分布均匀的球体，球体的体积公式V＝3(4πr3)(r为球体的半径)，不考虑地球自转的影响．下列说法正确的是(　　)

A．地球的质量为G(R＋h)

B．核心舱转动的角速度为R(v)

C．地球表面的重力加速度大小为2(G)

D．地球的密度为4πGR3(R＋h)

答案AD　

解析设地球的质量为M，核心舱的质量为m，根据万有引力提供向心力有2(GMm)＝mR＋h(v2)；可得M＝G(R＋h)，由公式M＝ρV可得，地球的密度为ρ＝V(M)＝4πGR3(R＋h)，故A、D正确；根据公式v＝ωr可得，核心舱转动的角速度为ω＝r(v)＝R＋h(v)，故B错误；根据题意，设地球表面物体的质量为m₁，由万有引力等于重力有R2(GMm1)＝m₁g，又有M＝G(R＋h)，可得g＝R2(R＋h)，故C错误．

考点4 宇宙速度

1．宇宙速度。

(1)三个宇宙速度v₁、v₂、v₃。

(2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。

(3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。

2．第一宇宙速度的推导。

(1)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力(g取9.8 m/s²)，则

(2)其他星球的第一宇宙速度：

①任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝R(GM星)或v＝，式中G为引力常量，M_星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。

②第一宇宙速度之值由中心星球决定。

3．对发射速度和环绕速度的理解。

(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。

(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由Gr2(Mm)＝mr(v2)可得v＝r(GM)，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度是最大环绕速度。

16.(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的2(1)。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是(　 )

A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可

B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以

C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度

D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半

答案CD

解析　根据三个宇宙速度的意义，可知A、B错误，C正确；已知M_火＝9(M地)，R_火＝2(R地)，则v_max∶v₁＝R火(GM火)∶R地(GM地)＝3(2)≈0.5，D正确。

17.嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器携带了一个在地球上振动周期为T₀的单摆，并在月球上测得单摆的周期为T，已知地球的半径为R₀，月球的半径为R，忽略地球、月球的自转，则地球第一宇宙速度v₀与月球第一宇宙速度v之比为(　 )

A.T0(T)R(R0)   B.R0T02(RT2)

C.T(T0)R(R0)   D.R0T0(RT)

答案A

解析 　根据单摆周期公式有T＝2πg(L)，设某星体的第一宇宙速度为v′，则有mg＝mR(v′2)，联立解得v′＝T(2π)，则地球第一宇宙速度v₀与月球第一宇宙速度v之比为v(v0)＝RL(2π)＝T0(T)R(R0)，A正确，B、C、D错误。

18.使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v₂与第一宇宙速度v₁的关系是v₂＝ v₁。已知某星球的半径为地球半径R的4倍，质量为地球质量M的2倍，地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　 )

A. gR(1)   B.2(1)

C.   D.gR(1)

答案C

解析 　设在地球表面飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得GR2(Mm)＝R(mv2)，又有GR2(Mm)＝mg，解得地球的第一宇宙速度为v₁＝ R(GM)＝ ；设该星球的第一宇宙速度为v₁′，根据题意，有v1(v1′) ＝ M(2M)·4R(R)＝2(1)；由题意知v₂＝v₁，得该星球的第二宇宙速度为v₂′＝，故A、B、D错误，C正确。

19．2021年4月29日，在海南文昌卫星发射中心，长征五号B遥二运载火箭成功将空间站天和核心舱送入离地高约450 km的预定圆轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开，并于2022年12月正式开启长期有人驻留模式。设天和核心舱的发射速度为v₀，天和核心舱在预定圆轨道的运行速度为v₁，关于这两个速度大小的说法正确的是(　　)

A．v₀>7.9 km/s，v₁>7.9 km/s

B．v₀>7.9 km/s，v₁<7.9 km/s

C．v₀<7.9 km/s，v₁<7.9 km/s

D．v₀<7.9 km/s，v₁>7.9 km/s

答案B　

解析 以第一宇宙速度7.9 km/s发射出去的物体，只能以地球半径为轨道半径运行，所以把天和核心舱发射到预定轨道需要更大的发射速度，故C、D错误；因为预定圆轨道半径大于地球半径，根据万有引力提供向心力可知，天和核心舱在轨道运行速度小于7.9 km/s，故A错误，B正确。故选B。

20．一航天员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，引力常量为G，求：

(1)该星球表面的重力加速度；

(2)该星球的密度；

(3)该星球的第一宇宙速度。

答案(1)t(2v0)　(2)2πRGt(3v0)　(3)t(2v0R)

解析　(1)根据竖直上抛运动规律可知，小球运动时间t＝g(2v0)，

可得星球表面重力加速度g＝t(2v0)。

(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的万有引力，则有mg＝R2(GMm)，

得M＝G(gR2)＝Gt(2v0R2)，

因为V＝3(4πR3)，

则有ρ＝V(M)＝2πRGt(3v0)。

(3)重力提供向心力，故mg＝mR(v2)，

该星球的第一宇宙速度v＝＝t(2v0R)。