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专题04 机械能守恒定律（解析版）

考点1  功的正负判断与恒力、合力做功的计算

考点2  变力做功的计算方法

考点3  功率的计算

考点4  机车启动问题

考点5  动能定理的理解和应用

考点6  机械能守恒及其应用

考点7  功能关系的理解和应用

考点1  功的正负判断与恒力、合力做功的计算

1．定性判断力是否做功及做正、负功的方法

(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。

(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。

(3)根据动能的变化判断：动能定理描述了合力做功与动能变化的关系，即W_合＝ΔE_k，当动能增加时合力做正功，当动能减少时合力做负功。

(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。

2．恒力做功的一般计算方法

直接用W＝Fl cos α计算。

恒力做功与物体的运动路径无关，只与初、末位置有关。

3．合力做功的计算方法

方法一：先求合力F_合，再用W_合＝F_合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W₁、W₂、W₃…，再应用W_合＝W₁＋W₂＋W₃＋…求合力做的功。

方法三：先求动能变化ΔE_k，再利用动能定理W_合＝ΔE_k求功。

1．（23-24高一下·浙江台州·期中）托球跑是校运动会趣味项目，如图所示，某段时间内乒乓球相对球拍静止一起水平向右匀速直线运动，不计空气阻力，在这段时间内（　　）

A．重力对乒乓球做正功 B．摩擦力对乒乓球做负功

C．支持力对乒乓球不做功 D．合力对乒乓球做正功

【答案】B

【详解】A．重力始终与乒乓球位移方向垂直，而根据功的计算公式

则可知重力在此过程中不做功，故A错误；

B．摩擦力沿板向上，与运动方向夹角为钝角，故摩擦力对乒乓球做负功，故B正确；

C．在此过程中，支持力与平抛球位移之间的夹角为锐角，则根据功的计算公式可知，支持力对乒乓球做正功，故C错误；

D．乒乓球做匀速直线运动，则可知乒乓球所受合力为零，则可知乒乓球所受合力做功为零，故D错误。

故选B。

2．（23-24高一下·福建莆田·开学考试）一端固定的轻质弹簧处于原长，第一次用互成角度的两个力F₁、F₂拉弹簧的另一端至O点，如图所示，在此过程F₁、F₂分别做了4J、8J的功，；第二次换用另一个力F仍使弹簧重复上述过程，该过程F所做的功是（　　）

A．4J B．8J

C．10J D．12J

【答案】D

【详解】、拉弹簧的作用效果与力拉弹簧的作用效果相同，故力拉弹簧做的功等于力、拉弹簧做功之和故为。

故选D。

3．（20-21高一下·上海闵行·期中）如图所示，一恒力通过一固定在物体上的滑轮拉物体沿光滑水平面前进了位移，在运动过程中，与水平方向保持角，则拉力对物体所做的功为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】绳上的拉力大小等于F，定滑轮受到两侧绳的拉力作用，其做的总功等于拉力F对物体所做的功，即

故选C。

考点2  变力做功的计算方法

4．（22-23高一下·辽宁·期中）如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连（连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧），弹簧的劲度系数k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做功为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】开始时弹簧的压缩量

此时

当A物块恰好离开地面时弹簧伸长量为

此时

则F做功

故选D。

5．（21-22高一下·广东佛山·期中）如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中，空气阻力f的大小不变，则下列说法正确的是（　　）

A．重力做功为 B．悬线拉力做负功

C．空气阻力做功为 D．空气阻力做功为

【答案】D

【详解】A．重力做功与初末位置的高度差有关，则有

故A错误；

B．因为悬线的拉力始终与球的运动方向垂直，所以拉力不做功，故B错误；

CD．由于空气阻力大小不变，方向始终与运动方向相反，则空气阻力做功为

故C错误，D正确。

故选D。

6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功，那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，

（1）甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W=      ；

（2）乙图中，全过程F做的总功为      ；

（3）丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=      ；

（4）丁图中，F始终保持水平，且为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W=      。

【答案】          72J          

【详解】（1）力F大小不变，方向始终沿绳方向，在力方向的位移为（OA-OC），故力F做的功为

（2）力F做的总功为

（3）空气阻力f与物体运动方向始终相反，故力f做的功为

（4）力F的方向始终沿水平向右，水平方向的位移为

力F做的功为

考点3  功率的计算

求力做功的功率时应注意的问题

(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选＝t(W)，其次是用＝F·_F，应注意F必须为恒力，且_F应容易求得，如求匀变速直线运动中某恒力的平均功率。

(2)求瞬时功率用P＝Fv cos θ，要注意F与v方向间的夹角θ对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。

7．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示为一小型起重机，物体P用不可伸长的轻质细绳绕过光滑轻质滑轮A、B，滑轮大小不计，连接C处的固定电动机。滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动，电动机C可改变总绳长，使绳始终保持绷直，且滑轮B的竖直高度不会低于滑轮A。下列说法正确的是（    ）

A．当滑轮A向右移动，滑轮B向下移动，有可能在物体P初始位置的右下侧地面接到物体P

B．当滑轮A、B均不动，电动机匀速收绳的过程中，细绳对物体P拉力的功率会逐渐变大

C．当只将滑轮B向上移动时，物体P的重力做正功

D．保持物体P距地面高度不变，将滑轮A向右匀速移动时，竖直伸缩杆不动，则电动机C需要匀速放绳

【答案】A

【详解】A．当滑轮A向右移动，滑轮B向下移动，AB间的绳长可能会缩短，物体P可能下降到地面，处于物体P初始位置的右下侧地面上，A正确；

B．当滑轮A、B均不动，电动机匀速收绳的过程中，P匀速上升，细绳对物体P拉力恒等于P的重力，根据

P=Fv

拉力的功率不变，B错误；

C．当只将滑轮B向上移动时，绳长不变，物体P被提升，重力做负功，C错误；

D．将滑轮A的速度沿BA方向与垂直BA方向分解，设AB段绳子与水平方向夹角为θ，电动机C放绳的速度为

当只将滑轮A向右匀速移动时，变小，电动机C放绳速度逐渐减小，则电动机C减速放绳，D错误。

故选A。

8．（22-23高一下·江西南昌·期中）如下图所示，质量相等的两物块分别在恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，的大小相等，两力与水平面的夹角相同，两物块运动了相同的位移。设此过程中对物块做的功为，对物块做的功为，的平均功率为，的平均功率为则（　　）

A．若水平面光滑，则 B．若水平面粗糙，则

C．若水平面光滑，则 D．若水平面粗糙，则

【答案】D

【详解】AB．两个作用力大小相等，作用的位移也相等，作用力对物块做的功

无论水平面光滑与否，都有

W₁=W₂

故AB错误；

C．若水平面光滑，则

两种情况下物块运动的加速度相同，由

可知两物块运动相同的位移的时间相同，又由

可知力F的平均功率相同，所以

故C错误；

D．若水平面粗糙，由牛顿第二定律得

则

由

可知

由

可知

故D正确。

故选D。

9．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，质量为的小球，以的初速度，朝着一个倾角为的斜面平抛出去，它落到斜面上时的速度方向刚好和斜面垂直，不计空气阻力，g取10m/s²，则（　　）

A．该小球落到斜面上的瞬间，重力对小球做功的瞬时功率为

B．该小球落到斜面上的瞬间，重力对小球做功的瞬时功率为

C．整个平抛运动过程中，重力对小球做功的平均功率为

D．整个平抛运动过程中，重力对小球做功的平均功率为

【答案】C

【详解】AB．如图所示，由速度关系知

代入得

重力对小球做功的瞬时功率为

AB错误；

CD．整个过程运动时间为

代入得

整个过程运动竖直方向位移为

代入得

整个过程重力做功为

代入得

则平均功率为

C正确，D错误；

故选C。

考点4  机车启动问题

10．（23-24高一下·山东泰安·期中）一辆汽车在平直公路上以恒定功率匀速行驶，行驶的速度为。现突然驶上一段泥泞的道路，阻力变为原来的2倍，行驶一段时间后道路又恢复至开始的情况，过程中汽车功率始终保持不变。则汽车的速度随时间变化的关系图像可能正确是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】首先P=Fv，开始的时候

P₀=F₀v₀=fv₀

当阻力变为原来的2倍时，则因速度不能瞬时改变，则牵引力瞬时不变，则加速度

反向瞬时增加，速度减小，牵引力增加，减速时的加速度大小在减小；当牵引力增加到2f时，根据

P₀ =2f∙v₀

即直到速度减为原来的一半时再次匀速运动；行驶一段时间后道路又恢复至开始的情况，则阻力又变为原来的f，则加速度瞬时增加，则速度增加，牵引力减小，加速度逐渐减小到零，当速度再次增加到v₀时，牵引力等于阻力，又开始匀速运动。

故选B。

11．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）电动汽车由于其节能环保、低噪声、提速快等优点，越来越受消费者青睐。如图所示，平直公路上A点左边路段为柏油路面，右边路段为水泥路面。某电动汽车在平直柏油路面上维持额定功率水平向右做匀速直线运动，从A点进入水泥路面后汽车仍以额定功率行驶。已知电动汽车在柏油路面行驶时和在水泥路面行驶时受到的阻力均为恒力，且前者大于后者。简要分析该电动汽车刚进入水泥路面时做什么运动，并分析之后汽车的受力和运动情况。

【答案】见解析

【详解】电动汽车在平直柏油路面上维持额定功率水平向右做匀速直线运动，由题知，阻力均为恒力，且前者大于后者，进入水泥路面后受阻力减小，功率不变，牵引力大于水泥路面阻力，根据

则电动汽车刚进入水泥路面时加速度不为0，随速度增加，加速度减小，故电动汽车从柏油路面进入水泥路面时做加速度减小的加速运动。

电动汽车进入水泥路面后汽车牵引力大于水泥路面阻力，后速度增加，牵引力减小，电动汽车做加速度减小的加速运动，当牵引力减小至等于阻力时合力为0，电动汽车速度达到最大值，后做匀速直线运动。

12．（2020高三·全国·专题练习）在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×10³kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出如图所示的图像（图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线）。假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：

(1)该汽车的额定功率；

(2)该汽车由静止开始运动，经过35s达到最大速度40m/s，求其在BC段的位移大小。

【答案】(1)8×10⁴W；(2)875m

【详解】(1)图线AB表示牵引力F不变，即

阻力F_f不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40m/s，此后汽车做匀速直线运动。由题图可知：当达到最大速度

时，牵引力为

由平衡条件

可得

由公式

得额定功率

(2)匀加速运动的末速度

代入数据解得

汽车由A到B做匀加速运动的加速度为

设汽车由A到B所用时间为t₁，由B到C所用时间为t₂、位移为x，则

B点之后，对汽车由动能定理可得

代入数据可得

考点5   动能定理的理解和应用

应用动能定理解题的一般思路

13．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是（　　）

A．小物块到达小车最右端时具有的动能为

B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为

C．小物块克服摩擦力所做的功为

D．小物块克服摩擦力所做的功为

【答案】B

【详解】A．小物块水平方向受到拉力F和摩擦力的作用，根据动能定理

故A错误；

B．小车相对地面的位移为x，水平方向仅受小物块对小车的摩擦力，根据动能定理

故B正确；

CD．小物块相对地面的位移为，则克服摩擦力做的功为

故CD错误。

故选B。

14．（23-24高一下·山东泰安·期中）如图所示，质量为m的石块从h高处以角斜向上方抛出，初速度为。石块上升的最高点距离抛出点高度为，抛出时人对石块做功为，落地前瞬间速度大小为、不计石块与手分离前的石块位移和整个运动过程中的空气阻力，重力加速度为g。以下相应过程中关于动能定理的列式正确的是（　　）

A．石块从开始加速到最高点的过程中动能定理的列式为：

B．石块从开始加速到最高点的过程中动能定理的列式为：

C．石块从与手分离到落地前瞬间的过程中动能定理的列式为：

D．石块从与手分离到落地前瞬间的过程中动能定理的列式为：

【答案】B

【详解】AB．石块从开始加速到最高点的过程中动能定理的列式为

选项A错误，B正确；

CD．石块从与手分离到落地前瞬间的过程中动能定理的列式为

选项CD错误。

故选B。

15．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图所示，质量为的小球自由下落d后，，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，AB段是半径为d的光滑圆弧，BC段是直径为d的粗糙半圆弧（B是轨道的最低点）。小球恰好能运动到C点。（重力加速度为）求：

（1）小球运动到B处时对轨道的压力；

（2）小球在BC上运动过程中，摩擦力对小球做的功。

【答案】（1）100N，方向竖直向下；（2）-7.5J

【详解】（1）小球下落到B的过程由动能定理得

2mgd=mv²

在B点

可得

F_N=5mg=100N

根据牛顿第三定律得

F_N'=F_N=5mg=100N

方向竖直向下。

（2）在C点

小球从B运动到C的过程

得

16．（23-24高一下·湖北·期中）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道竖直固定于水平面上。4个相同的木板紧挨着圆弧轨道末端静置，圆弧轨道末端与木板等高，每块木板的质量为，长。它们与地面间的动摩擦因数，木板与地面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现让一质量物块A从圆弧顶端由静止滑下，物块与木板间的动摩擦因数，，则

（1）求物块A滑至圆弧轨道底端时对轨道的压力大小；

（2）求物块A刚滑离木板1时的速度大小；

（3）试判断物块A滑行过程中能否使木板滑动？若木板会滑动，计算木板滑动前系统的摩擦生热。若不会滑动，计算全过程系统的摩擦生热。

【答案】（1）；（2）；（3）会滑动；

【详解】（1）物块A滑到曲面轨道下端，根据动能定理有

物块A滑到曲面轨道下端时，根据牛顿第二定律有

解得轨道对物块A的支持力为

根据牛顿第三定律得

（2）物块A刚滑上木板1时，对物块A，其所受到摩擦力

将4块木板看成整体，其与地面之间的最大静摩擦力为

由于，故物块A滑离木板1时，4块木板整体静止，对物块A，根据动能定理有

解得

（3）设物块A刚滑至第n块木板时，该木板开始滑动，该木板及后面木板受到地面的最大静摩擦力为

要使木板滑动，则有，解得

即物块A滑上第3块木板时，木板开始滑动，根据动能定理有

解得物块A刚滑至木板3时的速度为

故物块A能滑上第三块木板，并使34两块木板滑动，在此过程中

考点5  机械能守恒及其应用

机械能守恒问题的分析方法

(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。

(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。

(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。

17．（23-24高一下·福建莆田·期中）下列情形中可看作机械能守恒的是（    ）

A．空中运动的铅球 B．旋转的摩天轮上的乘客

C．飘落的海棠花 D．无动力翼装飞行

【答案】A

【详解】A．空中运动的铅球，受到的空气阻力较小，可忽略不计，只有重力做功，铅球机械能守恒，故A正确；

B．旋转的摩天轮上的乘客动能不变，重力势能在变化，机械能不守恒，故B错误；

C．飘落的海棠花，克服空气阻力做功，机械能不守恒，故C错误；

D．无动力翼装飞行，除重力外，浮力做功，机械能不守恒，故D错误。

故选A。

18．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系：第Ⅳ象限挡板形状满足方程（单位：m），小球从第Ⅱ象限内一个固定光滑圆弧轨道某处静止释放，通过O点后开始做平抛运动，击中挡板上的P点时动能最小（P点未画出），重力加速度大小取，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　）

A．P点的坐标为

B．小球释放处的纵坐标为

C．小球击中P点时的速度大小为5m/s

D．小球从释放到击中挡板的整个过程机械能不守恒

【答案】A

【详解】C．设小球从O点开始做平抛运动的初速度大小为v₀，则有

又

解得小球从O点落到挡板上的时间为

由小球落在挡板上的速度为

联立解得

当且仅当

即

此时，小球击中P点时的速度最小，速度为

故C错误；

A．由小球从O点落到挡板上的时间为

由平抛运动规律，P点的位置为

因此，P点的坐标为，故A正确；

B．设小球在圆弧轨道释放位置距离x轴的竖直距离为y，根据动能定理得

解得

故B错误；

D．小球从释放到击中挡板的整个过程只有重力做功，机械能守恒，故D错误。

故选A。

19．（多选）（23-24高一下·山东泰安·期中）从地面以的速度竖直向上抛出一个物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。以下说法正确的是（　　）

A．物体的重力势能为动能的一半时，物体离地面的高度为

B．物体的重力势能为动能的一半时，物体的速度为

C．物体的动能是重力势能的一半时，物体离地面的高度为

D．物体的动能是重力势能的一半时，物体的速度为

【答案】BC

【详解】根据机械能守恒可得

AB．物体的重力势能为动能的一半时

可得物体离地面的高度为

选项A错误，B正确；

CD．物体的动能是重力势能的一半时

物体离地面的高度为

选项C正确，D错误。

故选BC。

20．（多选）（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）如图所示，质量为m的均匀条形铁链AB恰好在半径为R的光滑半球体上方保持静止，已知∠AOB = 60°。给铁链AB一个微小的扰动使之向右沿球面下滑，铁链沿球面下滑过程中未脱离球面，当端点A滑至C处时铁链变为竖直状态且其速度大小为v。以OC所在平面为参考平面，重力加速度为g。则下列说法正确的是（   ）

A．铁链在初始位置时具有的重力势能为mgR

B．铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为

C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为

D．铁链的端点B滑至C点时其速度大小为

【答案】CD

【详解】A．因机械能守恒，以OC所在平面为参考平面，假定初始重力势能为Ep，端点A滑至C处时重力势能为，依题意有

L为铁链长度，依题意有

联立解得

故A错误；

B．设铁链在初始位置时其重心距OC面的高度为h，据前面分析

解得

故B错误；

C．铁链的端点A滑至C点时其重心下降高度为

故C正确；

D．初始状态重心为E点，铁链的端点B滑至C点时，如图所示，重心在F点，其中

根据机械能守恒定律有

解得

故D正确。

故选CD。

21．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图所示，质量均为m=1.0kg的小球M、N用两根长度均为L=3m的轻质细杆a、b连接，细杆a的一端可绕固定点O自由转动，细杆b可绕小球M自由转动。两球与O点在同一水平高度由静止释放，t时刻细杆a与竖直方向夹角为θ=37°，细杆b为竖直方向，小球N的速度方向水平向右。重力加速度g=10m/s²。求：

（1）开始释放时小球N的加速度大小a_N；

（2）t时刻小球M、N的速度大小v_M、v_N；

（3）从开始释放到t时刻的过程中，细杆b对小球N做的功W。

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）开始释放时，N仅受重力，则

（2）t时刻，小球N的速度方向水平向右，两小球沿杆方向的速度相同，则

小球M的速度

系统机械能守恒，则

解得

（3）从开始释放到t时刻，对N利用动能定理得

解得

22．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，一劲度系数k=100N/m的轻弹簧竖直放置，一端固定在地面上，另一端与质量m₁=3.5kg的物体连接；物体通过轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O₁、O₂后与质量m₂=1.6kg的小球连接：小球中心开孔，穿在长度L=0.8m的固定直杆AD上，直杆AD与水平面夹角θ=37°。初始时在外力作用下使小球静止不动并处于直杆AD顶端A处，绳子保持水平，此时绳中张力F=45N。已知AO₁=0.5m，直线CO₁与杆垂直，重力加速度取g=10m/s²，小球与物块均视为质点，绳子不可伸长。将小球A由静止释放，求：

（1）释放小球之前弹簧的形变量；

（2）小球运动到C点时弹簧的形变量；

（3）小球运动到C点的动能大小；

（4）小球从A运动到D处得过程中，绳子对小球所做的功。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【详解】（1）小球被释放前，对物体受力分析可知，绳的拉力大于物体的重力，弹簧被拉长，设其形变量为，则有

代入解得

（2）由题可知

所以物体下落的高度为

由于弹簧刚开始被拉长，所以此时弹簧应被压缩了

（3）小球从A到C的过程中，与小球释放前弹簧的弹性势能相同，对整个系统，机械能守恒

其中

由于CO₁与杆垂直，故物体的动能为0，即

所以此时小球的动能

（4）根据上述分析可知

所以

而杆长为，故为的中点，CO₁与杆垂直，故

整个系统回复到最初状态，设此时物体的速度为，小球的速度为，将小球的速度沿平行绳子和垂直绳子的方向进行分解，其平行绳子方向上的速度大小即为物体此时的速度大小

整个系统在下降的过程中机械能守恒

对小球而言，设绳子拉力对小球做的功为，由动能定理可知

联立上式解得

考点6  功能关系的理解和应用

能量问题的解题方法

(1)涉及滑动摩擦力做功的能量问题的解题方法

①当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。

②解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE_减和增加的能量总和ΔE_增，最后由ΔE_减＝ΔE_增列式求解。

(2)涉及弹簧弹力做功的能量问题的解题关键

两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：

①能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。

②如果系统中每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。

23．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底。然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始（夯杆被滚轮提升过程中，经历匀加速和匀速运动过程）。已知两个滚轮边缘的线速度恒为，每个滚轮对夯杆的正压力均为，滚轮与夯杆间的动摩擦因数，夯杆质量，坑深，假定在打夯的过程中坑的深度变化很小，取，下列说法正确的是（　　）

A．夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，加速度的大小为

B．每个打夯周期中，电动机多消耗的电能为

C．每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为

D．增加滚轮对夯杆的正压力，每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量将增加

【答案】C

【详解】A．夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，对夯杆进行分析，根据牛顿第二定律有

解得

故A错误；

BC．夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，若匀加速至，根据速度位移关系有

解得

之后夯杆匀速运动至到达坑口，此过程夯杆所受左右两轮静摩擦力的合力大小等于夯杆的重力，匀加速过程经历时间为

每个打夯周期中滚轮与夯杆间的相对位移大小为

则因摩擦产生的热量为

根据能量守恒可知，每个打夯周期中，电动机多消耗的电能为

故B错误，故C正确；

D．若增加滚轮对夯杆的正压力，结合上述可知，在匀加速过程中有

夯杆匀加速至的相对位移

其中

产生的热量

解得

可知，当增加滚轮对夯杆的正压力，每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量将减小，故D错误。

故选C。

24．（23-24高一下·浙江·期中）图甲为农民用水泵抽取地下水灌溉农田的场景，灌溉系统由电动机、水泵、输水钢管组成。图乙为灌溉系统示意图，地下水源水面距地表H=3.30m，安装水泵时将输水钢管竖直插入水井与地下水源连通，水管横截面积S=5cm²，水泵出水口离地表高度h=0.8m，水从管口以恒定速度沿水平方向喷出，管口截面上各处水的流速相同。已知水泵的喷灌半径R=1.6m，忽略水在管道中运动的机械能损失，水的密度=1.0×10³kg/m³，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，求：

（1）水从喷口喷出的速率是多大?

（2）每秒水泵对水做功。

【答案】（1）4m/s；（2）98J

【详解】（1）由平抛运动得

故

t=0.4s

速度

得

v=4m/s

（2）每秒内水流质量

水泵每秒对水流做的功等于水机械能增加量

代入数据解得

W=98J