(23-24高二下·江苏常州高级中学·期中)如图1所示为高温超导磁悬浮列车，是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统可简化为如图2所示的模型。固定在列车下端的动力绕组视为一个匝数为N的矩形纯电阻金属框，电阻为
，金属框置于
平面内，长为
的
边平行于
轴，宽为
的
边平行于
轴。列车轨道沿
方向、轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度
沿
轴向大小相同，沿
方向按正弦规律分布，其空间间隔为
，最大值为
，如图3所示。整个磁场以速度
沿
方向匀速平移，使列车获得
方向的驱动力，为使驱动效果最佳，
与
之间需满足特定关系。求：
（1）
的最大值（用d表示）；
（2）某时刻列车速度为
，列车可能受到的最大驱动力；
（3）实际上的驱动力是周期性变化的，但只要
足够小，我们感受不到这种变化，即一个周期内，驱动力的冲量和阻力的冲量抵消。若列车受到的阻力与速度的大小成正比，比例系数为
，则列车的最终速度
为多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【来源】江苏省常州高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中质量检查物理试题
【解析】（1）MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值
且反向的地方，这导致框中电流最强，受到的安培力最大。因此d应为
的奇数倍，即
（
）
时，
（2）金属框中的感应电动势大小
根据闭合电路欧姆定律
列车驱动力
（3）MN、PQ位于磁场中的磁感应强度总是大小相同、方向相反的，周期性变化的，可以写成
列车驱动力
一个周期内驱动力的冲量与阻力的冲量大小相等，方向相反。与交流电的瞬时值和有效值进行类比，驱动力关于时间的“有效值”等于阻力的大小
解得
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