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3.电势差与电场强度的关系

知识点　匀强电场中电势差与电场强度的关系

1.关系式：U_AB＝　Ed　。

2.物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于　电场强度　与这两点沿　电场　方向的距离的乘积。

3.适用条件：匀强电场。

4.电场强度的另一种表述

（1）关系式：E＝　　。

（2）物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与这两点沿电场强度方向的距离之比。

（3）电场强度的另一个单位：由E＝可知电场强度的另一个单位为伏特每米，符号为V/m，且1 V/m＝1 N/C。

【情景思辨】

如图所示的匀强电场中，把一点电荷q从A移到B，电场力做的功为W_AB＝qE··cos θ＝qE·＝qEd，因此，W_AB＝qU_AB＝qEd，则E＝。

（1）此式只适用于匀强电场，对非匀强电场可定性讨论。（　√　）

（2）d是电场中两点在电场方向上的距离。（　√　）

（3）由公式E＝知，在匀强电场中，电场强度等于沿电场强度方向每单位距离上的电势差。（　√　）

（4）公式说明了匀强电场中的电势分布是均匀的。（　√　）

（5）由公式E＝可知电场强度与U_AB成正比，与d成反比。（　×　）

要点一　电势差与电场强度的关系

【探究】

根据图中所给的情景，推导匀强电场中电势差与电场强度的关系？

提示：W＝qU_AB，又W＝qEd，得到U_AB＝Ed，或E＝。

【归纳】

1.公式E＝及U＝Ed的适用条件都是匀强电场。

2.由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。式中d不是两点间的距离，而是沿电场方向的距离。

3.电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。

【典例1】　如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10^－4 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：

（1）电荷由A移到B的过程中，静电力所做的功W_AB；

（2）A、B两点间的电势差U_AB；

（3）该匀强电场的电场强度E。

答案：（1）－0.2 J　（2）1 000 V　（3）1×10⁵ V/m

解析：（1）因负电荷由A移到B的过程中，电势能增加了ΔE＝0.2 J，所以这个过程中静电力对负电荷所做的功W_AB＝－ΔE＝－0.2 J。

（2）A、B两点间的电势差

U_AB＝＝ V＝1 000 V。

（3）匀强电场的电场强度

E＝＝ V/m＝1×10⁵ V/m。

规律总结

1.电势差的三种求解方法

（1）应用定义式U_AB＝φ_A－φ_B来求解。

（2）应用关系式U_AB＝来求解。

（3）应用关系式U_AB＝Ed（匀强电场）来求解。

2.在应用关系式U_AB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小，电场强度大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断。

1.如图所示，匀强电场的电场强度为E，电场中A、B两点间的距离为d，线段AB与电场线的夹角为θ，则A、B两点间的电势差为（　　）

A.Edcos θ B.－Edcos θ

C.Ed D.－Edsin θ

解析：A　由题图可知φ_A＞φ_B故U_AB为正值，得U_AB＝Edcos θ可知A正确，B、C、D错误。

2.已知高铁站台上方高压电网的电压峰值为27.5 kV。阴雨天雨伞伞尖周围的电场强度达到5×10⁵ V/m时，空气就有可能被击穿。乘客阴雨天打伞站在站台上，试估算伞尖与高压电网的距离为多少时空气可能被击穿（　　）

A.5.5 cm B.55 cm

C.1.1 m D.1.82 m

解析：A　由于是估算，可将雨伞伞尖与高压电网间的电场当作匀强电场处理。由题意可知U＝27.5 kV，E＝5×10⁵ V/m，则由U＝Ed得d＝＝ m＝5.5 cm，故A正确，B、C、D错误。

要点二　 等分法确定等势面与电场线

1.两个重要结论

结论1：在匀强电场中，长度相等且相互平行的两线段端点间的电势差相等，如图甲所示，则U_AB＝U_DC（或φ_A－φ_B＝φ_D－φ_C），同理可知，U_AD＝U_BC。

结论2：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势为φ_C＝，如图乙所示。

2.确定电场方向的方法

先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。

【典例2】　（2023·江苏常熟高二月考）如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为1×10^－8 C的正点电荷从A点移到B点，静电力做的功为3×10^－6 J，将另一电荷量为1×10^－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服静电力做的功为3×10^－6 J。

（1）U_AB、U_AC、U_BC各为多少？

（2）画出电场线方向；

（3）若AB边长为2 cm，求电场强度。

答案：（1）300 V　300 V　0　（2）如解析图所示　（3）1×10⁴ V/m

解析：（1）正点电荷从A点移到B点时，静电力做正功，故A点电势高于B点电势，可求得U_AB＝＝ V＝300 V

负点电荷从A点移到C点，静电力做负功，A点电势高于C点电势，可求得U_AC＝＝300 V

可得B、C两点电势相等，故U_BC＝0。

（2）由（1）中分析知BC为一条等势线，所以电场线垂直于BC，设D为BC的中点，则电场线方向由A指向D，如图所示。

（3）AB在电场强度方向的投影长度d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得E＝＝ V/m＝1×10⁴ V/m。

1.如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个平行四边形的四个顶点，电场线与平行四边形所在的平面平行。已知a点的电势是2 V，b点的电势是5 V，c点的电势是9 V。由此可知，d点的电势为（　　）

A.6 V B.7 V

C.9 V D.5 V

解析：A　匀强电场中，在同一方向上每前进相同的距离，电势的改变量相等，故φ_a－φ_d＝φ_b－φ_c，代入数据有2 V－φ_d＝5 V－9 V，解得φ_d＝6 V，故A正确。

2.（2023·江苏盐城高二校联考）如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1.0 V、2.0 V、3.0 V，正六边形所在平面与电场线平行，则下列说法错误的是（　　）

A.通过CD和AF的直线是电场中的两条等势线

B.匀强电场的电场强度大小为10 V/m

C.匀强电场的电场强度方向由C指向A

D.将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10^－19 J

解析：B　连接A、C，AC连线中点的电势为 V＝2.0 V，与B点电势相等，再结合几何关系可知E、B连线为一条等势线，由正六边形的对称性可知，通过CD、AF的直线与EB平行，所以也是等势线，A正确；A、C连线与等势线垂直，由顺着电场线方向电势逐渐降低可知，电场强度方向由C指向A，C正确；B、A间的电势差为U_BA＝1.0 V，又U_BA＝Ed_BAcos 30°，解得场强E＝ V/m，故B错误；由上述分析可知，φ_E＝φ_B＝2.0 V，φ_D＝φ_C＝3.0 V，则电子从E点移到D点，电场力做的功为W_ED＝q（φ_E－φ_D），代入数据得W_ED＝－1.6×10^－19×（2.0－3.0）J＝1.6×10^－19 J，再结合静电力做功与电势能变化的关系可知，D正确。

要点三　利用E＝定性分析非匀强电场

1.U_AB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大。

2.在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小（等势面越密），电场强度E＝就越大。图甲中等差等势面越密的地方电场强度就越大。而图乙中a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故U_ab＜U_bc。

【典例3】　如图所示为某一不规则带电体及其电场中的两条电场线，已知ab＝bc＝ef，U_ab＝50 V，则下列选项正确的是（　　）

A.U_bc＝50 V B.U_bc＞50 V

C.U_ef＝50 V D.U_ef＞50 V

答案：D

解析：由带电体电荷分布的特征可知越尖锐的地方电荷的密度越大，电场强度越大，电场线分布越密，等差等势面也越密。画出题中带电体电场线和等差等势面的剖面图，如图所示。由图可知U_ab＞U_bc，U_ef＞U_ab，则U_bc＜50 V，U_ef＞50 V，A、B、C错误，D正确。

1.如图所示的同心圆是点电荷电场中的一组等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A向C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则有（　　）

A.圆心电荷是正电荷

B.电子由A向C运动时受到的电场力越来越小

C.电势差U_AB＝U_BC

D.A、B、C三点的电势关系为φ_A＋φ_C＜2φ_B

解析：D　由A到C，电子的速度越来越小，可知其动能越来越小，电势能越来越大，电场力对其做负功，则电子应顺着电场线运动，即电场线方向由A到C，由此可知这是由负电荷形成的电场，因此越靠近负电荷，电场线越密，电场强度也就越大，电子所受电场力也就越大，选项A、B错误；因为此电场不是匀强电场，越靠近场源电荷场强越强，所以U_AB＜U_BC，即φ_A－φ_B＜φ_B－φ_C，所以φ_A＋φ_C＜2φ_B，选项C错误，D正确。

2.如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的电场强度分别为E_A、E_B、E_C，电势分别为φ_A、φ_B、φ_C，AB、BC间的电势差分别为U_AB、U_BC，则下列关系中正确的有（　　）

A.φ_A＜φ_B＜φ_C B.E_A＞E_B＞E_C

C.U_AB＜U_BC D.U_AB＝U_BC

解析：C　沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A错误；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，U_AB＜U_BC，C正确，D错误。

1.如图所示，在匀强电场中，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为（　　）

A.5 V B.－5 V

C.10 V D.－10 V

解析：B　A、B两点在电场强度方向上的距离d＝l_AB·cos（180°－120°）＝10× cm＝5 cm。由于φ_A＜φ_B，则根据U＝Ed得U_AB＝－Ed＝－100×5×10^－2 V＝－5 V，故选B。

2.如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φ_a＝9 V，φ_b＝15 V，φ_c＝18 V，则d点的电势为（　　）

A.12 V B.8 V

C.4 V D.16 V

解析：A　因为a、c，b、d为圆的直径，可求得圆心O点的电势为13.5 V，则U_bO＝1.5 V，由U_bO＝U_od＝1.5 V，可得φ_d＝12 V。

3.如图所示，在△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0 V、2 V、8 V，则该电场的电场强度为（　）

A.50 V/m B.50 V/m

C.100 V/m D. V/m

解析：C　如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0 V、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面；根据E＝可得电场强度E＝＝ V/m＝100 V/m，故选C。

4.如图所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是（　）

A.E＝2 000 V/m，φ_C＝200 V

B.E＝3 000 V/m，φ_C＝－200 V

C.电子在C点具有的电势能为－200 eV

D.电子在C点具有的电势能为200 eV

解析：D　A板接地，则其电势为零，又因为A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝5 000 V/m，φ_C＝－Ed_C＝－50 V/cm×4 cm＝－200 V，选项A、B错误；电子在C点具有的电势能为200 eV，选项C错误，D正确。

5.如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则（　　）

A.M点电势比P点电势高

B.M点电场强度和P点电场强度相同

C.OM 间的电势差等于NO 间的电势差

D.将一负电荷从M点移到O点，电场力做正功

解析：D　假设有一正电荷由P点只在静电力作用下移动到M点，由图可知静电力与运动方向成锐角，静电力做正功，电势能减少，故电势降低，故A错误；电场线的疏密程度表示电场的强弱，M点处的电场线比P点的稀疏，故M点处的电场强度比P点的小，两者方向也不同，故B错误；根据U＝Ed可知，OM和NO的距离相等，由于NO间的电场更强，故NO间的电势差更大，故C错误；负电荷由M点运动到O点，所受静电力方向与运动方向相同，所以静电力做正功，故D正确。

考点一　电势差与电场强度的关系

1.关于静电场，下列结论普遍成立的是（　　）

A.电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低

B.电场中任意两点之间的电势差只与这两点的电场强度有关

C.在正点电荷和负点电荷产生的静电场中，电场强度方向都指向电势降低最快的方向

D.将正点电荷从电场强度为零的一点移动到电场强度为零的另一点，电场力做功为零

解析：C　电场强度大的地方电势不一定高，二者没有必然联系，选项A错误；电场中任意两点间的电势差与电场强度有关，也与这两点在电场方向上的距离有关，选项B错误；电场强度的方向由高电势处指向低电势处且指向电势降落最快的方向，选项C正确；将正点电荷从电场强度为零的一点移至电场强度为零的另一点，例如将正点电荷由等量同种正点电荷连线中点处移至无穷远处，电场力做功不为零，选项D错误。

2.某匀强电场的等势面分布图如图所示，每两个相邻等势面相距2 cm，则电场强度E的大小和方向分别为（　　）

A.E＝100 V/m，竖直向下

B.E＝100 V/m，水平向左

C.E＝100 V/m，竖直向上

D.E＝200 V/m，水平向右

解析：B　电场线与等势面垂直，且从高电势指向低电势，所以电场强度的方向水平向左，电场强度大小为E＝＝ V/m＝100 V/m，B正确，A、C、D错误。

3.如图所示，在匀强电场中虚线为电场线，O、A、B、C四点共线，且AB＝2OA＝2BC＝6 cm，θ＝60°。已知A点电势为零，一电子在O点电势能为－6 eV，则下列说法正确的是（　　）

A.O点的电势为－6 V

B.电场线方向水平向右

C.电场强度大小为200 V/m

D.电子从O点移动到C点电势能降低

解析：B　根据电势能的定义式E_p＝qφ可得O点的电势为φ_O＝6 V，A错误；根据沿电场线方向电势降低，可知电场线方向水平向右，B正确；根据电势差与电场强度的关系式E＝，解得E＝400 V/m，C错误；根据E_p＝qφ，依题意从O点到C点，电势一直在降低，电子带负电荷，所以其电势能增大，D错误。

4.如图所示，匀强电场中有三个竖直等势面，从左到右电势分别为－10 V、0 V、10 V，A、B两点间相距2.5 cm，A、B连线与等势面的夹角为53°，求该匀强电场的场强。

答案：1 000 V，方向水平向左

解析：匀强电场中电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，电场线垂直于等势面，由图可知该电场强度方向水平向左，电场线与A、B连线的夹角是37°，得U_BA＝Edcos 37°，E＝＝＝ V/m＝1 000 V/m。

考点二　利用公式U＝Ed定性分析非匀强电场

5.（2023·江苏兴化高二月考）如图所示为某建筑物上的避雷针和带电云层之间的电场线分布示意图，a、b、c是同一电场线上的点，且ab＝bc，则（　　）

A.带电云层带正电

B.a、b、c三点的场强相同

C.a、b间与b、c间的电势差相等

D.云层上的电荷导入大地时，电流从避雷针流向云层

解析：D　电场线方向指向云层，则云层带负电，A项错。电场线的密度越大，电场强度越大，故E_a＞E_b＞E_c，B项错。ab＝bc，但由题图可知该电场并非匀强电场，故a、b间与b、c间电势差不相等，C项错。云层带负电，地面则可视为带正电，当云层上的负电荷导入大地时，因电流方向与负电荷运动方向相反，即电流从避雷针流向云层，D项对。

6.电子束焊接机中的电场线如图中虚线所示，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d。在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速向A极运动。不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（　　）

A.A、K之间的电场强度为

B.电子到达A极时的动能大于eU

C.由K极到A极电子的电势能减少了eU

D.由K极沿直线到A极电势逐渐降低

解析：C　由于A、K之间的电场是非匀强电场，不能应用匀强电场中电势差与电场强度的关系式E＝计算非匀强电场的电场强度，选项A错误；根据动能定理，可知电子到达A极时的动能等于eU，选项B错误；由K极到A极，电场力做的功为eU，根据电场力做功与电势能变化的关系可知，电子的电势能减少了eU，选项C正确；A、K之间的电场线方向由A极指向K极，所以由K极沿直线到A极电势逐渐升高，选项D错误。

考点三　等分法确定等势面与电场线

7.如图所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与矩形所在的平面平行。已知a点的电势是20 V，b点的电势是24 V，d点的电势是4 V。由此可知，c点的电势为（　　）

A.4 V B.8 V

C.12 V D.24 V

解析：B　在匀强电场中，任意一簇平行线上等距离的两点的电势差相等，所以U_ba＝U_cd，所以c点电势为8 V。

8.匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V。设电场强度大小为E，一电荷量为1×10^－6 C的正点电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则（　　）

A.W＝8×10^－6 J，E＞8 V/m

B.W＝6×10^－6 J，E＞6 V/m

C.W＝8×10^－6 J，E≤8 V/m

D.W＝6×10^－6 J，E≤6 V/m

解析：A　因为电场是匀强电场，D点是AB的中点，所以D点的电势φ_D＝＝10 V，所以W＝q（φ_D－φ_C）＝8×10^－6 J。设场强的方向与AB的夹角为α，则E＝＝＝ V/m，因为α＞0，所以cos α＜1，E＞8 V/m，故A正确。

9.如图，空间直角坐标系Oxyz处于一个匀强电场中，a、b、c三点分别在x、y、z轴上，且到坐标原点O的距离均为10 cm。现将一带电荷量q＝0.2 C的负点电荷从b点分别移动到a、O、c三点，静电力做功均为1 J。则该匀强电场的电场强度大小为（　　）

A.50 N/C B.50 N/C

C.10 V/m D.10 V/m

解析：B　由公式W＝Uq代入数据可得U＝5 V，由题意可知a、O、c三点所构成的面是等势面，Ob垂直于xOz平面，b点到xOz平面的距离d＝10 cm，故匀强电场的电场强度大小E＝＝ N/C＝50 N/C，故B正确，A、C、D错误。

10.如图所示，梯形abdc位于某匀强电场所在平面内，两底角分别为60°、30°，cd＝2ab＝4 cm。已知a、b两点的电势分别为4 V、0，将电荷量q＝1.6×10^－3 C的正电荷由a点移动到c点，克服静电力做功6.4×10^－3 J。下列关于电场强度的说法正确的是（　　）

A.方向垂直bd斜向上，大小为400 V/m

B.方向垂直bd斜向上，大小为200 V/m

C.方向垂直bc斜向下，大小为 V/m

D.方向垂直bc斜向下，大小为 V/m

解析：A　从a到c点：U_ac＝＝－4 V，因为U_ac＝φ_a－φ_c，所以φ_c＝8 V，又U_cd＝2U_ab＝2（φ_a－φ_b）＝8 V，可得φ_d＝0，即bd为等势面，所以电场强度的方向垂直bd斜向上，由电势差与电场强度的关系得E＝＝400 V/m，故A正确。

11.（2023·江苏淮安高二校联考）如图所示，直角梯形ABCD位于水平向右的匀强电场中，AB＝0.4 m、BC＝0.3 m，BC边和AD边均水平。将一电荷量q＝－2×10^－7 C的负点电荷从A点移动到C点，该点电荷克服静电力做的功W₀＝1.8×10^－6 J。求：

（1）B、C两点间的电势差U_BC；

（2）匀强电场的电场强度的大小E。

答案：（1）9 V　（2）30 V/m

解析：（1）A、C两点的电势差U_AC＝＝9 V，A、B两点电势相等，则U_BC＝U_AC＝9 V。

（2）根据匀强电场中电势差与电场强度的关系有U_BC＝Ed，解得E＝30 V/m。

12.如图所示，M、N两极板间匀强电场的场强大小E＝2.4×10⁴ N/C，方向竖直向上。电场中A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场方向的夹角θ＝60°，A点和M板间距为2 cm。

（1）此时U_AB等于多少？

（2）一点电荷的电荷量q＝5×10^－8 C，它在A、B两点的电势能之差为多少？若M板接地，A点电势是多少？B点电势是多少？

答案：（1）1 200 V　（2）6×10^－5 J　－480 V

－1 680 V

解析：（1）由U＝Ed得A、B两点间的电势差U_AB＝E·cos θ＝2.4×10⁴×10×10^－2×0.5 V＝1 200 V。

（2）正点电荷在电势高处电势能大，它在A、B两点间的电势能之差为ΔE_p＝E_pA－E_pB＝qU_AB＝5×10^－8×1 200 J＝6×10^－5 J。若M板接地，M板电势为0，U_MA＝φ_M－φ_A＝E·＝480 V，则φ_A＝－480 V，φ_B＝φ_A－U_AB＝－480 V－1 200 V＝－1 680 V。