如图所示的平面直角坐标系
，四分之一虚线圆弧
的圆心就在坐标原点
，
、
两点分别在
轴和
轴上；圆弧边界外第一象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场，平行
轴的虚线
与
轴的交点为
点，
、
两点间的距离等于
圆弧的半径；第二象限内，虚线
与
轴间存在沿
轴正方向、场强大小为
的匀强电场，虚线
的左侧存在沿
轴负方向、场强大小也为
的匀强电场以及垂直纸面向外、磁感应强度大小为
的匀强磁场。现让质量为
、带电量为
（
）的粒子（不计重力）在
点获得沿
正方向的初速度
，粒子匀速运动到
点进入磁场，然后从
点到达
点，接着进入
间的匀强电场，再从
点运动到
上的
点（
轴上
段无电场也无磁场，
轴上
段各点均被电场
覆盖；
轴上
段无电场也无磁场，
轴上
点以上各点均被磁场
覆盖）。
(1)求圆弧
的半径以及粒子从
到
的运动时间；
(2)求粒子在
点的速度大小以及粒子从
到
对时间而言所受的平均作用力的大小；
(3)求
、
两点间的距离。
【答案】(1)
，
(2)
，
(3)
【详解】（1）由题意可知，粒子从A到B做匀速圆周运动轨迹是四分之三圆弧，与AB半径相等，设为R，由洛伦兹力提供向心力
（1分）
解得
（1分）
粒子从O到A与从B到O的运动时间均为
粒子从A到B的运动时间为
（1分）
粒子从O到C做类平抛运动，水平方向的分运动是速度为
的匀速直线运动，
则运动时间为
（1分）
综合可得粒子从A到C的运动时间为
（1分）
（2）粒子从O到C，沿y轴正方向的分运动是初速度为0的匀加速直线运动，把粒子在C点的速度
分别沿着x轴和y轴正交分解，则有
（1分）
（1分）
结合
可得
则
（1分）
且
方向与MN的夹角为45°，粒子从A到C，由矢量运算法则可得速度的变化量为
由动量定理可得
（1分）
联立解得
（1分）
（3）粒子从C到D，把粒子在C点的速度看成
，
两个速度，磁场对
分运动的洛伦兹力为
沿x轴的正方向，电场力
沿x轴负方向与
等大反向，则粒子沿y轴正方向的分运动为
的匀速直线运动。
磁场对
分运动的洛伦兹力提供向心力使粒子做半径为
的匀速圆周运动，则粒子的合运动看成沿y轴正方向的匀速直线运动与顺时针方向匀速圆周运动的合运动，粒子从C到D点所用的时间为半个周期，即
（2分）
C、D两点的距离即粒子沿y轴正方向运动的距离
（1分）
联立可得
（2分）
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