（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图所示，带底座的圆形轨道静置于水平地面上，两个完全相同可视为质点、质量均为m的小球，静止在轨道最低位置。两球中间夹有一压缩的微型轻弹簧，两小球之间距离可忽略不计，且与弹簧不栓接。现同时释放两个小球，弹簧完全弹开后，两球沿轨道内壁运动刚好能到达轨道最高点。已知圆形轨道质量为1.5m，半径为R，重力加速度为g。小球沿轨道上升过程中，轨道装置始终静止不动。求：
（1）弹簧压缩时的弹性势能；
（2）小球与圆心的连线和竖直方向夹角多大时，圆形轨道对地面的压力刚好为零；
（3）小球克服重力做功的功率最大时，小球在环上的位置（用小球与圆心连线和竖直方向之间夹角的三角函数值表示）。
【答案】（1）
；（2）60°；（3）
【详解】（1）小球刚好能到达轨道最高点，由牛顿第二定律可得
解得 
由机械能守恒定律，可得弹簧压缩时的弹性势能
（2）设小球与圆心的连线和竖直方向夹角为θ时，即在A点时，圆形轨道对地面的压力刚好是零，如图所示，小球由最低点到A点时，由机械能守恒定律可得
解得
由牛顿第二定律可得
轨道对小球的弹力
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的弹力大小为F N＇=FN，由平衡条件可得
整理可得
解得
；
（3）设小球克服重力做功的功率最大时，小球在轨道上的B点，小球与圆心连线和竖直方向之间夹角为α，同理，由解析（2）可得
则有
整理可得
设
，则有
对上式求导后可得
，设
解得
（不符合题意，舍去）
可得
即
时，功率P有最大值。
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