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2024·北京海淀·统考一模)在量子力学诞生以前,玻尔提出了原子结构假说,建构了原子模型:电子在库仑引力作 用下绕原子核做匀速圆周运动时,原子只能处于一系列不连续的能量状态中(定态),原子在各定态所具有的能量值叫做能级,不同能级对应于电子的不同运行轨道。电荷量为+Q的点电荷A固定在真空中,将一电荷量为-q的点电荷从无穷远移动到距Ar的过程中,库仑力做功。已知电子质量为m、元电荷为e、静电力常量为k、普朗克常量为h,规定无穷远处电势能为零。

1)若已知电子运行在半径为r1的轨道上,请根据玻尔原子模型,求电子的动能Ek1及氢原子系统的能级E1

2)为了计算玻尔原子模型的这些轨道半径,需要引入额外的假设,即量子化条件。物理学家索末菲提出了索末菲量子化条件,它可以表述为:电子绕原子核(可看作静止)做圆周运动的轨道周长为电子物质波波长(电子物质波波长λ与其动量p的关系为)的整数倍,倍数n即轨道量子数。

请结合索末菲量子化条件,求氢原子轨道量子数为n的轨道半径rn,及其所对应的能级En

玻尔的原子模型除了可以解释氢原子的光谱,还可以解释核外只有一个电子的一价氦离子(He+)的光谱。已知氢原子基态的能级为-13.6eV,请计算为使处于基态的He+跃迁到激发态,入射光子所需的最小能量。

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2024·北京西城·统考二模)在半导体芯片加工中常用等离子体对材料进行蚀刻,用于形成半导体芯片上的细微结构。利用电磁场使质量为m、电荷量为e的电子发生回旋共振是获取高浓度等离子体的一种有效方式。其简化原理如下:如图1所示,匀强磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B;旋转电场的方向绕过O点的垂直纸面的轴顺时针旋转,电场强度的大小为E;旋转电场带动电子加速运动,使其获得较高的能量,利用高能的电子使空间中的中性气体电离,生成等离子体。

(提示:不涉及求解半径的问题,圆周运动向心加速度的大小可表示为

1)若空间只存在匀强磁场,电子只在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,求电子做圆周运动的角速度

2)将电子回旋共振简化为二维运动进行研究。施加旋转电场后,电子在图2所示的平面内运动,电子运动的过程中会受到气体的阻力,其方向与速度的方向相反,大小,式中k为已知常量。最终电子会以与旋转电场相同的角速度做匀速圆周运动,且电子的线速度与旋转电场力的夹角(小于90°)保持不变。只考虑电子受到的匀强磁场的洛伦兹力、旋转电场的电场力及气体的阻力作用,不考虑电磁波引起的能量变化。

a.若电场旋转的角速度为,求电子最终做匀速圆周运动的线速度大小v

b.电场旋转的角速度不同,电子最终做匀速圆周运动的线速度大小也不同。求电场旋转的角速度多大时,电子最终做匀速圆周运动的线速度最大,并求最大线速度的大小

c.旋转电场对电子做功的功率存在最大值,为使电场力的功率不小于最大功率的一半,电场旋转的角速度应控制在范围内,求的数值。

 

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