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2024·北京朝阳·统考二模)万有引力定律和库仑定律的相似,使得解决相关问题的方法可以相互借鉴。

1)与静电力做功特点类似,万有引力做功同样与路径无关。已知某卫星绕地球的轨道为一椭圆,地球位于椭圆的一个焦点上,如图1所示。已知地球和卫星的质量分别为Mm,卫星在远地点A时与地心距离为r1,在近地点B时与地心距离为r2。取无穷远处引力势能为零,质量为的两物体相距为r时,引力势能表达式为,其中G为引力常量。

a.推导证明卫星绕地球运动的过程中动能与引力势能之和守恒;

b.计算卫星从A运动到B的过程中增加的动能

2)如图2所示,直线上有一固定点电荷A,带电量为+Q,另一质量为m、带电量为-q的点电荷B由直线上某点静止释放,仅考虑两电荷间的库仑力,当电荷B运动至距离电荷AL时,其速度大小恰等于BA做半径为L的匀速圆周运动时的速度大小。取无穷远电势为零,两点电荷相距为r时的电势能表达式为,其中k为静电力常量。

a.求点电荷B由静止释放时与点电荷A的距离

b.已知在万有引力作用下人造卫星绕地球以椭圆轨道或圆周轨道运行时,若椭圆轨道半长轴与某一圆周轨道半径相等,则其在两轨道上运行的周期相等。请据此估算点电荷B从该位置由静止释放运动到点电荷A位置的时间t

 

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2024·北京东城·统考二模)光压是指光照射到物体上对物体表面产生的压力。早在17世纪初,开普勒就曾用太阳光的压力解释彗星的尾巴为什么背着太阳。其实彗尾一般有两条,一条是由等离子体在太阳风作用下形成的离子尾,另一条是不带电的尘埃在太阳光的光压力作用下形成的尘埃尾。当尘埃被从彗星释放出来,由于太阳光产生的光压把它们沿径向往外推开,它就不再继续沿着彗星轨道运动。如图所示为彗星掠过太阳所发生的状况,弧线表示彗星的轨迹,彗星当前在b位置,在a位置上释放出的尘埃已被太阳光压沿虚线路径推出(其它位置释放的尘埃路径未画出),形成了如图所示的尘埃尾。(已知彗星质量远远小于太阳质量)

1)请说明在图中a位置释放的尘埃的速度方向;若能够沿着路径(一条直线)运动,请说明尘埃所受合外力的情况。

2)在一定条件下(例如强光照射下)小颗粒所受的光压可以与所受万有引力同数量级。假设尘埃粒子是半径为R的小球,密度为ρ,它对太阳光全部吸收。已知太阳的质量为M,辐射光的功率为P0,所发出太阳光的平均波长为λ,普朗克常量用h表示,万有引力常量用G表示,真空中光速用c表示。(光子的动量

a.请求出能够沿路径运动的尘埃粒子的半径R0

b.请分析并说明半径满足什么条件的尘埃粒子会沿路径运动。

 

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2024·北京丰台·统考二模)地磁爆是由太阳风暴引起的:强烈的太阳风暴将大量的带电粒子(质子和电子)以极大的初速度向外抛射,到达地球后影响了地球磁场的分布,对地球的电力、通信产生影响。

1)已知质量为m的质点在太阳的引力范围内所具有的势能为r为质点到太阳中心的距离。已知,太阳质量,太阳半径,太阳到地球的距离,太阳风初速度,质子的质量,质子的电荷量.忽略地球对粒子的引力作用。

a.估算质子到达地球附近时的速度的大小v(结果保留一位有效数字);

b.地球周围存在磁场,赤道上空磁感应强度的方向平行于经线向北。假设在赤道上空某处存在厚度约为的匀强磁场区域,磁感应强度的大小约为,太阳风暴所产生的部分带电粒子垂直于赤道表面射向地球,通过计算判断其中的质子能否穿过该磁场区域。

2)考虑地球引力的作用,上述匀强磁场区域内还存在重力场,重力场可认为是均匀的。该区域内有大量的等离子体(质子和电子),故被称为等离子层。在磁场和重力场的共同作用下,等离子层中电子和质子的无规则热运动宏观上表现为赤道平面内绕地心的定向运动和其他运动的叠加,形成可观测的电流。已知该区域内磁场的磁感应强度为B,重力加速度为g,不计带电粒子间的相互作用,质子质量为m,电量为q。请利用运动的合成和分解,求质子绕地心定向运动的速度。

(提示:为简化模型,假设带电粒子无规则运动的速度方向仅局限在赤道平面内,如图所示)

 

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2024·北京门头沟·统考一模)微元法是通过把物理量或物理过程进行分割再分析的方法,也是物理中解决问题常用的方法。

(1)如图1所示,一个行星绕太阳沿椭圆轨道运动,在近日点a和远日点b时离太阳中心的距离分别为,近日点速度和远日点速度分别为。分别在a点和b点附近取极短的时间间隔,请根据开普勒第二定律(对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等)求;(提示:扇形面积半径×弧长)

 

(2)如图2所示,轻质弹簧一端固定,另一端与质量为m的物块(可视为质点)相连放置在水平面上。当物块在A位置时弹簧处于原长,在外力F作用下物块移动到B位置(没有超出弹簧弹性限度)。已知弹簧劲度系数为kAB间长度为l,弹簧对物块的拉力用表示。取A点所在位置为坐标原点,水平向右为正方向。物块从A运动到B过程中,通过推导画出与位移x的示意图,并借助图像求弹簧对物块拉力做的功

 

(3)如图3所示,当长为L的导体棒MN绕其一端M在垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)的平面内转动时,电子受到沿着导体棒方向的洛伦兹力和垂直于导体棒方向的洛伦兹力,在任一过程中做功之和始终为零。设导体棒内有一电荷量为e的电子,导体棒以角速度ω顺时针匀速转动,求该电子距离转轴M点为x时所受洛伦兹力大小的表达式,并借助图像求该电子从导体棒N端移到M端过程中做的功

 

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